La desigualdad de Fisher

La desigualdad de Fisher es una condición necesaria para la existencia de un diseño de bloques incompletos equilibrado , es decir, un sistema de subconjuntos que satisfacen ciertas condiciones prescritas en matemáticas combinatorias . Descrito por Ronald Fisher , un genetista y estadístico de poblaciones , que se ocupaba del diseño de experimentos como el estudio de las diferencias entre varias variedades diferentes de plantas, bajo cada una de una serie de condiciones de crecimiento diferentes, llamadas bloques .

Dejar:

$v$ sea el número de variedades de plantas;
$b$ sea el número de bloques.

Para que sea un diseño de bloques incompletos equilibrado se requiere que:

$k$ variedades diferentes hay en cada bloque, $1 \leq k < v$ ; ninguna variedad aparece dos veces en un mismo bloque;
dos variedades cualesquiera aparecen juntas exactamente en $λ$ bloques;
cada variedad ocurre exactamente en $r$ bloques.

La desigualdad de Fisher establece simplemente que

b \geq v

Prueba

Sea la matriz de incidencia $M$ una matriz $v \times b$ definida de modo que $M i,j$ sea 1 si el elemento $i$ está en el bloque $j$ y 0 en caso contrario. Entonces $B = MM T$ es una matriz $v \times v$ tal que $B i,i = r$ y $B i,j = λ$ para $i \neq j$ . Dado que $r \neq λ$ , $det(B) \neq 0$ , entonces $rango(B) = v$ ; por otro lado, $rango(B) \leq rango(M) \leq b$ , entonces $v \leq b$ .

Generalización

La desigualdad de Fisher es válida para clases de diseños más generales. Un diseño equilibrado por pares (o PBD) es un conjunto $X$ junto con una familia de subconjuntos no vacíos de $X$ (que no necesitan tener el mismo tamaño y pueden contener repeticiones) de modo que cada par de elementos distintos de $X$ esté contenido exactamente en $λ$ (un entero positivo) subconjuntos. Se permite que el conjunto $X$ sea uno de los subconjuntos, y si todos los subconjuntos son copias de $X$ , el PBD se denomina "trivial". El tamaño de $X$ es $v$ y el número de subconjuntos de la familia (contados con multiplicidad) es $b$ .

Teorema: Para cualquier PBD no trivial, $v \leq b$ . ^[1]

Este resultado también generaliza el teorema de Erdős-De Bruijn :

Para un PBD con $λ = 1$ que no tiene bloques de tamaño 1 o tamaño $v$ , $v \leq b$ , con igualdad si y solo si el PBD es un plano proyectivo o un lápiz cercano (lo que significa que exactamente $n - 1$ de los puntos son colineales ). ^[2]

En otra dirección, Ray-Chaudhuri y Wilson demostraron en 1975 que en un diseño de $2 s -(v, k, λ)$ , el número de bloques es al menos . ^[3] ${\binom {v}{s}}$

Notas

^ Stinson 2003, pág.193
^ Stinson 2003, pág.183
^ Ray-Chaudhuri, Dijen K.; Wilson, Richard M. (1975), "Sobre diseños en t", Osaka Journal of Mathematics , 12 : 737–744, MR 0592624, Zbl 0342.05018

Referencias

RC Bose , "Una nota sobre la desigualdad de Fisher para diseños de bloques incompletos equilibrados", Annals of Mathematical Statistics , 1949, páginas 619–620.
RA Fisher, "Un examen de las diferentes soluciones posibles de un problema en bloques incompletos", Annals of Eugenics , volumen 10, 1940, páginas 52–75.
Stinson, Douglas R. (2003), Diseños combinatorios: construcciones y análisis , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-95487-2
Calle, Anne Penfold ; Calle, Deborah J. (1987). Combinatoria del Diseño Experimental . Oxford UP [Clarendon]. ISBN 0-19-853256-3.