La descomposición generalizada adecuada ( PGD ) es un método numérico iterativo para resolver problemas de valores en la frontera (BVP), es decir, ecuaciones diferenciales parciales restringidas por un conjunto de condiciones de frontera, como la ecuación de Poisson o la ecuación de Laplace .
El algoritmo PGD calcula una aproximación de la solución del BVP mediante enriquecimiento sucesivo. Esto significa que, en cada iteración, se calcula un nuevo componente (o modo ) y se añade a la aproximación. En principio, cuantos más modos se obtengan, más cercana será la aproximación a su solución teórica. A diferencia de los componentes principales de POD , los modos de PGD no son necesariamente ortogonales entre sí.
Al seleccionar únicamente los modos PGD más relevantes, se obtiene un modelo de orden reducido de la solución. Por ello, PGD se considera un algoritmo de reducción de dimensionalidad .
La descomposición generalizada adecuada es un método que se caracteriza por
En el método de descomposición generalizada adecuada, la formulación variacional implica traducir el problema a un formato en el que la solución se pueda aproximar minimizando (o, a veces, maximizando) un funcional . Un funcional es una cantidad escalar que depende de una función que, en este caso, representa nuestro problema.
La formulación variacional más comúnmente implementada en PGD es el método Bubnov-Galerkin . [3] [4] Este método se elige por su capacidad de proporcionar una solución aproximada a problemas complejos, como los descritos por ecuaciones diferenciales parciales (EDP). En el enfoque Bubnov-Galerkin, la idea es proyectar el problema en un espacio abarcado por un número finito de funciones base . Estas funciones base se eligen para aproximar el espacio de solución del problema.
En el método de Bubnov-Galerkin, buscamos una solución aproximada que satisfaga la forma integral de las ecuaciones diferenciales parciales en el dominio del problema. Esto es diferente a resolver directamente las ecuaciones diferenciales. Al hacerlo, el método transforma el problema en la búsqueda de los coeficientes que mejor se ajustan a esta ecuación integral en el espacio de funciones elegido.
Si bien el método Bubnov-Galerkin es el predominante, también se utilizan otras formulaciones variacionales en PGD, [5] [3] dependiendo de los requisitos y características específicas del problema, tales como:
La discretización del dominio es un conjunto bien definido de procedimientos que cubren (a) la creación de mallas de elementos finitos, (b) la definición de la función base sobre elementos de referencia (también llamadas funciones de forma) y (c) el mapeo de elementos de referencia sobre los elementos de la malla.
La PGD supone que la solución u de un problema (multidimensional) puede aproximarse como una representación separada de la forma donde el número de sumandos N y los productos funcionales X 1 ( x 1 ), X 2 ( x 2 ), ..., X d ( x d ), cada uno dependiendo de una variable (o variables), son desconocidos de antemano.
La solución se busca aplicando un algoritmo voraz , normalmente el algoritmo de punto fijo , a la formulación débil del problema. Para cada iteración i del algoritmo, se calcula un modo de la solución. Cada modo consiste en un conjunto de valores numéricos de los productos funcionales X 1 ( x 1 ), ..., X d ( x d ), que enriquecen la aproximación de la solución. Debido a la naturaleza voraz del algoritmo, se utiliza el término "enriquecer" en lugar de "mejorar", ya que algunos modos pueden empeorar el enfoque. El número de modos calculados necesarios para obtener una aproximación de la solución por debajo de un cierto umbral de error depende del criterio de detención del algoritmo iterativo.
El PGD es adecuado para resolver problemas de alta dimensión, ya que supera las limitaciones de los enfoques clásicos. En particular, el PGD evita la maldición de la dimensionalidad , ya que resolver problemas desacoplados es computacionalmente mucho menos costoso que resolver problemas multidimensionales.
Por lo tanto, PGD permite readaptar problemas paramétricos en un marco multidimensional estableciendo los parámetros del problema como coordenadas adicionales: donde una serie de productos funcionales K 1 ( k 1 ), K 2 ( k 2 ), ..., K p ( k p ), cada uno dependiendo de un parámetro (o parámetros), se ha incorporado a la ecuación.
En este caso, la aproximación obtenida de la solución se denomina vademécum computacional : un metamodelo general que contiene todas las soluciones particulares para cada valor posible de los parámetros involucrados. [7]
El método de aprendizaje de subespacios dispersos (SSL) aprovecha el uso de la colocación jerárquica para aproximar la solución numérica de los modelos paramétricos. Con respecto al modelado tradicional de orden reducido basado en proyecciones, el uso de una colocación permite un enfoque no intrusivo basado en un muestreo adaptativo disperso del espacio paramétrico. Esto permite recuperar la estructura de baja dimensión del subespacio de solución paramétrica al mismo tiempo que se aprende la dependencia funcional de los parámetros en forma explícita. Se puede construir una representación tensorial aproximada de bajo rango disperso de la solución paramétrica a través de una estrategia incremental que solo necesita tener acceso a la salida de un solucionador determinista. La no intrusión hace que este enfoque sea directamente aplicable a problemas desafiantes caracterizados por la no linealidad o formas débiles no afines. [8]
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