Descomposición en modo empírico multidimensional

En el procesamiento de señales , la descomposición en modo empírico multidimensional ( EMD multidimensional ) es una extensión del algoritmo EMD unidimensional (1-D) a una señal que abarca múltiples dimensiones. El proceso de descomposición en modo empírico (EMD) de Hilbert-Huang descompone una señal en funciones de modo intrínseco combinadas con el análisis espectral de Hilbert , conocido como transformada de Hilbert-Huang (HHT). El EMD multidimensional extiende el algoritmo EMD 1-D a señales multidimensionales. Esta descomposición se puede aplicar al procesamiento de imágenes , al procesamiento de señales de audio y a otras señales multidimensionales.

Motivación

La descomposición en modo empírico multidimensional es un método popular debido a sus aplicaciones en muchos campos, como análisis de texturas, aplicaciones financieras, procesamiento de imágenes , ingeniería oceánica , investigación sísmica , etc. Se han utilizado varios métodos de descomposición en modo empírico para analizar la caracterización de señales multidimensionales. .

Introducción a la descomposición en modo empírico (EMD)

Diagrama de flujo del algoritmo básico de EMD ^{[1] [ editor depredador ]}

El método de descomposición de modo empírico (EMD) puede extraer la estructura global y manejar señales similares a fractales.

El método EMD se desarrolló para que los datos puedan examinarse en un espacio adaptativo de tiempo, frecuencia y amplitud para señales no lineales y no estacionarias.

El método EMD descompone la señal de entrada en varias funciones de modo intrínseco (IMF) y un residuo. La ecuación dada será la siguiente:

${\displaystyle I(n)=\sum _{m=1}^{M}\operatorname {IMF} _{m}(n)+\operatorname {Res} _{M}(n)}$

¿Dónde está la señal multicomponente? es la función de modo intrínseco y representa el residuo correspondiente a los modos intrínsecos. ${\displaystyle I(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {IMF} _{m}(n)}$ ${\displaystyle M^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{M}(n)}$ ${\displaystyle M}$

Descomposición en modo empírico conjunto

La media del conjunto es un enfoque para mejorar la precisión de las mediciones. Los datos se recopilan mediante observaciones separadas, cada una de las cuales contiene un ruido diferente en un conjunto de universos. Para generalizar esta idea de conjunto, se introduce ruido en un único conjunto de datos, como si en realidad se estuvieran realizando observaciones separadas como análogo a un experimento físico que podría repetirse muchas veces. El ruido blanco agregado se trata como el posible ruido aleatorio que se encontraría en el proceso de medición. En tales condiciones, la "observación" artificial será ... ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{i}(t)=x(t)+w_{i}(t)}$

En el caso de una sola observación, uno de los conjuntos de observaciones múltiples se imita agregando diferentes copias de ruido blanco, a esa observación única, como se indica en la ecuación. Aunque agregar ruido puede dar como resultado una relación señal-ruido más pequeña, el ruido blanco agregado proporcionará una distribución de escala de referencia uniforme para facilitar la EMD; por lo tanto, la baja relación señal-ruido no afectará el método de descomposición sino que en realidad lo mejora al evitar la mezcla de modos. Con base en este argumento, se da un paso adicional al argumentar que agregar ruido blanco puede ayudar a extraer las señales verdaderas en los datos, un método que se denomina descomposición en modo empírico conjunto (EEMD). ${\displaystyle w_{i}(t)}$

La EEMD consta de los siguientes pasos:

1. Agregar una serie de ruido blanco a los datos originales.
2. Descomponer los datos con ruido blanco añadido en componentes oscilatorios.
3. Repitiendo los pasos 1 y 2 una y otra vez, pero añadiendo una serie de ruido blanco diferente cada vez.
4. Obtención de la media del conjunto de las correspondientes funciones de modo intrínseco de la descomposición como resultado final.

En estos pasos, EEMD utiliza dos propiedades del ruido blanco:

1. El ruido blanco agregado conduce a una distribución relativamente uniforme de la distribución extrema en todas las escalas de tiempo.
2. La propiedad del banco de filtros diádicos proporciona control sobre los períodos de oscilaciones contenidos en un componente oscilatorio, lo que reduce significativamente la posibilidad de que se mezclen escalas en un componente. Mediante el promedio del conjunto, se promedia el ruido añadido. ^[2]

Descomposición en modo empírico pseudobidimensional[3]

El método “pseudo-BEMD” no se limita a una dimensión espacial; más bien, se puede aplicar a datos de cualquier número de dimensiones espacio-temporales. Dado que la estructura espacial está esencialmente determinada por escalas de tiempo de la variabilidad de una cantidad física en cada ubicación y la descomposición se basa completamente en las características de las series temporales individuales en cada ubicación espacial, no se supone que existan estructuras espaciales coherentes de esta cantidad física. Cuando surge una estructura espacial coherente, refleja mejor los procesos físicos que impulsan la evolución de la cantidad física en la escala de tiempo de cada componente. Por lo tanto, esperamos que este método tenga aplicaciones importantes en el análisis de datos espacio-temporales.

Para diseñar un algoritmo pseudo-BEMD, el paso clave es traducir el algoritmo del EMD 1D a una descomposición en modo empírico bidimensional (BEMD) y ampliar aún más el algoritmo a tres o más dimensiones, que es similar al BEMD ampliando el procedimiento. en dimensiones sucesivas. Para un cubo de elementos de datos 3D , el pseudo-BEMD producirá componentes 3D detallados de donde , y son el número de FMI descompuestos de cada dimensión que tiene elementos , y , respectivamente. ${\displaystyle i\times j\times k}$ ${\displaystyle m\times n\times q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

Matemáticamente representemos una señal 2D en forma de matriz con un número finito de elementos. ${\displaystyle i\times j}$

${\displaystyle X(i,j)={\begin{bmatrix}x(1,1)&x(1,2)&\cdots &x(1,j)\\x(2,1)&x(2,2)&\cdots &x(1,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(i,1)&x(i,2)&\cdots &x(i,j)\end{bmatrix}}}$^[3]

Al principio realizamos EMD en una dirección de X ( i , j ), por ejemplo, en filas, para descomponer los datos de cada fila en m componentes, luego para recopilar los componentes del mismo nivel de m a partir del resultado de cada descomposición de filas. para hacer una señal descompuesta 2D a ese nivel de m. Por lo tanto, se obtienen m conjuntos de datos espaciales 2D.

${\displaystyle {\begin{aligned}RX(1,i,j)&={\begin{bmatrix}x(1,1,1)&x(1,1,2)&\cdots &x(1,1,j)\\x(1,2,1)&x(1,2,2)&\cdots &x(1,2,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(1,i,1)&x(1,i,2)&\cdots &x(1,i,j)\end{bmatrix}}\\[6pt]RX(2,i,j)&={\begin{bmatrix}x(2,1,1)&x(2,1,2)&\cdots &x(2,1,j)\\x(2,2,1)&x(2,2,2)&\cdots &x(2,2,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(2,i,1)&x(2,i,2)&\cdots &x(2,i,j)\end{bmatrix}}\\\vdots \qquad &\,\,\,\vdots \qquad \vdots \\[6pt]RX(m,i,j)&={\begin{bmatrix}x(m,1,1)&x(m,1,2)&\cdots &x(m,1,j)\\x(m,2,1)&x(m,2,2)&\cdots &x(m,2,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x(m,i,1)&x(m,i,2)&\cdots &x(m,i,j)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$^[3]

donde RX (1, ​​i, j), RX (2, i, j) y RX (m, i, j) son los m conjuntos de señales como se indica (también aquí usamos R para indicar la descomposición de filas). La relación entre estas m señales descompuestas 2D y la señal original se da como ^[3] ${\displaystyle X(i,j)=\sum _{k\mathop {=} 1}^{m}RX(k,i,j)}$

La primera fila de la matriz RX (m, i, j) es el enésimo componente EMD descompuesto de la primera fila de la matriz X (i, j). La segunda fila de la matriz RX (m, i, j) es el enésimo componente EMD descompuesto de la segunda fila de la matriz X (i, j), y así sucesivamente.

Supongamos que la descomposición anterior es en la dirección horizontal, el siguiente paso es descomponer cada uno de los componentes RX(m, i, j) previamente descompuestos por filas, en la dirección vertical en n componentes. Este paso generará n componentes de cada componente RX.

Por ejemplo, el componente

1. RX(1,i,j) se descompondrá en CRX(1,1,i,j), CRX(1,2,i,j),...,CRX(1,n,i,j)
2. RX(2,i,j) se descompondrá en CRX(2,1,i,j), CRX(2,2,i,j),..., CRX(2,n,i,j)
3. RX(m,i,j) se descompondrá en CRX(m,1,i,j), CRX(m,2,i,j),..., CRX(m,n,i,j)

donde C significa columna en descomposición. Finalmente, la descomposición 2D dará como resultado matrices m × n que son los componentes EMD 2D de los datos originales X (i, j). La expresión matricial para el resultado de la descomposición 2D es

${\displaystyle CRX(m,n,i,j)={\begin{bmatrix}crx(1,1,i,j)&crx(2,1,i,j)&\cdots &crx(m,1,i,j)\\crx(1,2,i,j)&crx(2,2,i,j)&\cdots &crx(m,2,i,j)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\crx(1,n,i,j)&crx(2,n,i,j)&\cdots &crx(m,n,i,j)\end{bmatrix}}}$^[3]

donde cada elemento de la matriz CRX es una submatriz i × j que representa un componente descompuesto de EMD 2D. Usamos los argumentos (o sufijos) myn para representar el número de componente de la descomposición de filas y de la descomposición de columnas, respectivamente, en lugar de los subíndices que indican la fila y la columna de una matriz. Observe que m y n indican el número de componentes resultantes de la descomposición de filas (horizontal) y luego de la descomposición de columnas (vertical), respectivamente.

Al combinar los componentes de la misma escala o escalas comparables con una diferencia mínima, se obtendrá una característica 2D con la mejor importancia física. Los componentes de la primera fila y la primera columna son aproximadamente de la misma escala o comparable, aunque sus escalas aumentan gradualmente a lo largo de la fila o columna. Por tanto, combinando los componentes de la primera fila y la primera columna se obtendrá el primer componente 2D completo (C2D1). El proceso posterior es realizar la misma técnica de combinación al resto de componentes, el aporte de los ruidos se distribuye al componente separado según sus escalas. Como resultado, emergen las estructuras coherentes de los componentes. De esta manera, el método pseudo-BEMD se puede aplicar para revelar la evolución de las estructuras espaciales de los datos.

${\displaystyle C2D_{L}=\sum _{k=1}^{m}crx_{k,l}+\sum _{k=l+1}^{n}crx_{l,k}}$^[3]

Siguiendo la convención de 1D EMD, el último componente de los componentes 2D completos se llama residuo.

El esquema de descomposición propuesto aquí podría extenderse a datos de cualquier dimensión, como datos de un sólido con diferente densidad u otras propiedades mensurables.

dado como ${\displaystyle I=f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ,x_{n})}$

En el que la suscripción, n, indicaba el número de dimensiones. El procedimiento es idéntico al indicado anteriormente: la descomposición comienza con la primera dimensión y continúa con la segunda y tercera hasta agotar todas las dimensiones. La descomposición todavía se implementa por cortes. Este nuevo enfoque se basa en separar los datos originales en sectores unidimensionales y luego aplicar EMD conjunto a cada sector unidimensional. La parte clave del método está en la construcción del FMI según el principio de combinación de componentes comparables de escala mínima.

Por ejemplo, la expresión matricial para el resultado de una descomposición 3D es TCRX(m,n,q,i,j,k) donde T denota la descomposición en profundidad (o tiempo). Según el principio de combinación de escala mínima comparable aplicado en el caso 2D, el número de componentes 3D completos será el valor más pequeño de m , n y q . La ecuación general para derivar componentes 3D es

${\displaystyle C3D_{L}=\sum _{m=l}^{m}\sum _{n=\ell }^{n}tcrx_{m,n,\ell }+\sum _{m=\ell +1}^{m}\sum _{q=\ell +1}^{n}tcrx_{m,\ell ,q}+\sum _{n=\ell +1}^{m}\sum _{q=\ell +1}^{m}tcrx_{\ell ,n,q}}$  ^[3]

donde ℓ denota el nivel de C3D, es decir

${\displaystyle {\begin{cases}\ell =m=n&{\text{if }}m=n;\\\ell =m&{\text{if }}m<n;\\\ell =n&{\text{if }}m>n.\end{cases}}}$

El método pseudo-BEMD tiene varias ventajas. Por ejemplo, el procedimiento de cribado del pseudo-BEMD es una combinación de cribado unidimensional. Emplea ajuste de curvas 1D en el proceso de cribado de cada dimensión, y no tiene ninguna dificultad como la que se encuentra en los algoritmos EMD 2D que utilizan ajuste de superficie, que tiene el problema de determinar el punto de silla como un máximo o mínimo local. El tamizado es el proceso que separa el FMI y se repite el proceso hasta obtener el residuo. El primer paso para realizar el filtrado es determinar las envolventes superior e inferior que abarcan todos los datos mediante el método spline. El esquema de cribado para pseudo-BEMD es como el cribado 1D en el que la media local de la EMD estándar se reemplaza por la media de las curvas envolventes multivariadas.

La principal desventaja de este método es que, aunque podríamos extender este algoritmo a cualquier dato dimensional, solo lo usamos para aplicaciones de dos dimensiones. Porque el tiempo de cálculo de los datos de dimensiones superiores sería proporcional al número de FMI de las dimensiones siguientes. Por lo tanto, podría exceder la capacidad de cálculo de un sistema de procesamiento de datos geofísicos cuando la cantidad de EMD en el algoritmo es grande. Por lo tanto, a continuación mencionamos técnicas mejores y más rápidas para abordar esta desventaja.

Descomposición en modo empírico de conjuntos multidimensionales.[4]

Un análisis de datos rápido y eficiente es muy importante para secuencias grandes, por lo que MDEEMD se centra en dos cosas importantes.

1. Compresión de datos que implica descomponer datos en formas más simples.
2. EEMD sobre los datos comprimidos; Este es el mayor desafío ya que al descomponer los datos comprimidos existe una alta probabilidad de perder información clave. Para comprimir datos se utiliza un método de compresión de datos que utiliza análisis de componentes principales (PCA)/análisis de función ortogonal empírica (EOF) o análisis de patrón de oscilación principal.

Análisis de componentes principales (PCA) o análisis empírico de funciones ortogonales (EOF)

El análisis de componentes principales / análisis empírico de funciones ortogonales (PCA/EOF) ha sido ampliamente utilizado en el análisis de datos y compresión de imágenes, su principal objetivo es reducir un conjunto de datos que contiene una gran cantidad de variables a un conjunto de datos que contiene menos variables, pero que todavía representa una gran fracción de la variabilidad contenida en el conjunto de datos original. En los estudios climáticos, el análisis EOF se utiliza a menudo para estudiar posibles modos espaciales (es decir, patrones) de variabilidad y cómo cambian con el tiempo. En estadística, el análisis EOF se conoce como análisis de componentes principales (PCA).

Normalmente, los EOF se encuentran calculando los valores propios y los vectores propios de una matriz de covarianza de anomalías ponderada espacialmente de un campo. Lo más común es que los pesos espaciales sean cos(latitud) o, mejor para el análisis EOF, sqrt(cos(latitud)). Los valores propios derivados proporcionan una medida de la varianza porcentual explicada por cada modo. Desafortunadamente, los valores propios no son necesariamente distintos debido a problemas de muestreo. Norte y col. (Mon. Wea. Rev., 1982, ecuaciones 24-26) proporcionan una "regla general" para determinar si un valor propio (modo) particular es distinto de su vecino más cercano.

Los procesos atmosféricos y oceanográficos suelen ser "rojos", lo que significa que la mayor parte de la variación (potencia) está contenida en los primeros modos. Las series de tiempo de cada modo (también conocidas como componentes principales) se determinan proyectando los vectores propios derivados sobre las anomalías ponderadas espacialmente. Esto dará como resultado la amplitud de cada modo durante el período de registro.

Por construcción, los patrones EOF y los componentes principales son independientes. Dos factores inhiben la interpretación física de los EOF: (i) la restricción de ortogonalidad y (ii) los patrones derivados pueden depender del dominio. Los sistemas físicos no son necesariamente ortogonales y si los patrones dependen de la región utilizada, es posible que no existan si cambia el dominio.

Señal espacio-temporal mediante descomposición en modo empírico de conjuntos multidimensionales

Supongamos que tenemos datos espacio-temporales , donde están las ubicaciones espaciales (originalmente no eran necesariamente unidimensionales, pero debían reorganizarse en una única dimensión espacial) de 1 a y ubicaciones temporales de 1 a . ${\displaystyle T(s,t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$

Usando PCA/EOF, se puede expresar en ^[4] ${\displaystyle T(s,t)}$ ${\displaystyle T(s,t)=\sum _{i=1}^{K}Y_{i}(t)V_{i}(t)}$

donde es el décimo componente principal y el patrón de función ortogonal empírica ( EOF) y K es el más pequeño de M y N. Los PC y EOF a menudo se obtienen resolviendo el problema de valor propio/vector propio de una matriz de covarianza temporal o una matriz de covarianza espacial en función de qué dimensión es más pequeña. La varianza explicada por un par de PCA/EOF es su valor propio correspondiente dividido por la suma de todos los valores propios de la matriz de covarianza. ${\displaystyle Y_{i}(t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Y_{i}(t)}$ ${\displaystyle i}$

Si todos los datos sujetos al análisis PCA/EOF son ruido blanco, todos los valores propios son teóricamente iguales y no existe una dirección vectorial preferida para el componente principal en el espacio PCA/EOF. Para retener la mayor parte de la información de los datos, es necesario retener casi todas las PC y EOF, lo que hace que el tamaño de la expresión PCA/EOF sea incluso mayor que el del original, pero si los datos originales contienen solo una estructura espacial y oscilan con el tiempo. , entonces los datos originales se pueden expresar como el producto de una PC y un EOF, lo que implica que los datos originales de gran tamaño se pueden expresar mediante datos de tamaño pequeño sin perder información, es decir, altamente comprimibles.

La variabilidad de una región más pequeña tiende a ser más coherente espacio-temporalmente que la de una región más grande que contiene esa región más pequeña y, por lo tanto, se espera que se requieran menos componentes PC/EOF para dar cuenta de un nivel umbral de varianza, por lo tanto, uno Una forma de mejorar la eficiencia de la representación de datos en términos del componente PC/EOF es dividir el dominio espacial global en un conjunto de subregiones. Si dividimos el dominio espacial global original en n subregiones que contienen N1, N2,. . . , Nn rejillas espaciales, respectivamente, con todo Ni, donde i=1, . . . , n, mayor que M, donde M denota el número de ubicaciones temporales, anticipamos que los números de los pares PC/EOF retenidos para todas las subregiones K1, K2,. . . , Kn son todos más pequeños que K, el número total de valores de datos en la representación PCA/EOF de los datos originales del dominio espacial global mediante la ecuación dada es K×(N+M). Para el nuevo enfoque de utilizar la división espacial, el número total de valores en la representación PCA/EOF es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}K_{i}(M+N_{i})=K'_{i}N+M\sum _{i=1}^{n}K_{i}}$

dónde

${\displaystyle K'_{i}={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{i}N_{i}}{N}}.}$ ^[4]

Por lo tanto, la tasa de compresión del dominio espacial es la siguiente

${\displaystyle {\text{Compression rate}}={\frac {NM}{NK'_{i}+M\sum _{i=1}^{n}K_{i}}}}$^[4]

La ventaja de este algoritmo es que una división optimizada y una selección optimizada de pares PC/EOF para cada región conducirían a una mayor tasa de compresión y darían como resultado un cálculo significativamente menor en comparación con un Pseudo BEMD extendido a dimensiones más altas.

Descomposición rápida en modo empírico de conjuntos multidimensionales[4]

Para una señal temporal de longitud M , la complejidad del spline cúbico que pasa por sus extremos locales es aproximadamente del orden de M, al igual que la del EEMD, ya que solo repite la operación de ajuste del spline con un número que no depende de M. Sin embargo, como el número de filtrado (a menudo seleccionado como 10) y el número de conjunto (a menudo unos pocos cientos) se multiplican en las operaciones de filtrado spline, el EEMD requiere mucho tiempo en comparación con muchos otros métodos de análisis de series temporales, como las transformadas de Fourier y las wavelets. se transforma. El MEEMD emplea la descomposición EEMD de la serie temporal en cada cuadrícula de división de la señal temporal inicial, la operación EEMD se repite por el número total de puntos de la cuadrícula del dominio. La idea del MEEMD rápido es muy simple. Como la compresión basada en PCA/EOF expresó los datos originales en términos de pares de PC y EOF, mediante la descomposición de PC, en lugar de series temporales de cada cuadrícula, y utilizando la estructura espacial correspondiente representada por los EOF correspondientes, la carga computacional puede reducirse significativamente. reducido.

El MEEMD rápido incluye los siguientes pasos:

1. Se calculan todos los pares de EOF, Vi _, y sus PC correspondientes, Yi _, de datos espacio-temporales sobre un subdominio comprimido.
2. El número de pares de PC/EOF que se retienen en los datos comprimidos se determina mediante el cálculo de la varianza total acumulada de los pares EOF/PC principales.
3. Cada PC Yi _se descompone usando EEMD, es decir

${\displaystyle Y_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{j,i}+r_{n,i}}$^[4]

donde c _{j , i} representa modos oscilatorios simples de ciertas frecuencias y r _{n , i} es el residual de los datos Y _i . El resultado del iésimo componente MEEMD C _j se obtiene como

${\displaystyle C_{j}=\sum _{j=1}^{40}c_{j,i}V_{i}.}$ ^[4]

En este cálculo comprimido, hemos utilizado las propiedades aproximadas del banco de filtros diádicos de EMD/EEMD.

Tenga en cuenta que un conocimiento detallado de las funciones del modo intrínseco de una señal corrupta por ruido puede ayudar a estimar la importancia de ese modo. Generalmente se supone que el primer FMI captura la mayor parte del ruido y, por lo tanto, a partir de este FMI podríamos estimar el nivel de ruido y estimar la señal corrupta por ruido eliminando los efectos del ruido aproximadamente. Este método se conoce como eliminación de ruido y eliminación de tendencias. Otra ventaja de utilizar el MEEMD es que la mezcla de modos se reduce significativamente debido a la función del EEMD.
La estrategia de eliminación de ruido y eliminación de tendencias se puede utilizar en el procesamiento de imágenes para mejorar una imagen y, de manera similar, se podría aplicar a señales de audio para eliminar datos corruptos en el habla. El MDEEMD podría usarse para descomponer imágenes y señales de audio en IMF y, basándose en el conocimiento del IMF, realizar las operaciones necesarias. La descomposición de una imagen es muy ventajosa para aplicaciones basadas en radar; la descomposición de una imagen podría revelar minas terrestres, etc.

Implementación paralela de descomposición en modo empírico de conjuntos multidimensionales.

En MEEMD, aunque potencialmente existe un amplio paralelismo en las dimensiones del conjunto y/o las dimensiones no operativas, aún se enfrentan varios desafíos en una implementación de MEEMD de alto rendimiento. ^[5]

EMD bidimensional corrompido con ruido

1. Variaciones de datos dinámicos: en EEMD, los ruidos blancos cambian el número de extremos provocando cierta irregularidad y desequilibrio de carga y, por lo tanto, ralentizando la ejecución paralela.
2. Accesos a la memoria de pasos de datos de alta dimensión: los datos de alta dimensión se almacenan en ubicaciones de memoria no continuas. De este modo, los accesos a lo largo de dimensiones elevadas se obstaculizan y no se fusionan, desperdiciando ancho de banda de memoria disponible.
3. Recursos limitados para aprovechar el paralelismo: si bien los EMD y/o EEMD independientes que componen un MEEMD proporcionan un alto paralelismo, las capacidades computacionales de los procesadores multinúcleo y de muchos núcleos pueden no ser suficientes para explotar plenamente el paralelismo inherente de MEEMD. Además, un mayor paralelismo puede aumentar los requisitos de memoria más allá de las capacidades de memoria de estos procesadores.

Función de modo intrínseco EMD bidimensional junto con el residuo eliminando el nivel de ruido.

En MEEMD, cuando la dimensión del conjunto y/o las dimensiones no operativas dan un alto grado de paralelismo, los beneficios de utilizar un algoritmo paralelo a nivel de subproceso son triples. ^[5]

1. Puede explotar más paralelismo que un algoritmo paralelo a nivel de bloque.
2. No incurre en ninguna comunicación o sincronización entre los hilos hasta que se fusionen los resultados ya que la ejecución de cada EMD o EEMD es independiente.
3. Su implementación es como la secuencial, lo que la hace más sencilla.

Implementación de OpenMP[5]

Los EEMD que componen MEEMD se asignan a subprocesos independientes para la ejecución en paralelo, confiando en el tiempo de ejecución de OpenMP para resolver cualquier problema de desequilibrio de carga. Los accesos a la memoria de datos de alta dimensión se eliminan al transponer estos datos a dimensiones más bajas, lo que resulta en una mejor utilización de las líneas de caché. Los resultados parciales de cada EEMD se convierten en subprocesos privados para un funcionamiento correcto. Los requisitos de memoria dependen de la cantidad de subprocesos OpenMP y son administrados por el tiempo de ejecución de OpenMP.

Implementación de CUDA[5]

En la implementación de GPU CUDA, cada EMD se asigna a un subproceso. El diseño de la memoria, especialmente de datos de alta dimensión, se reorganiza para cumplir con los requisitos de fusión de la memoria y encajar en las líneas de caché de 128 bytes. Los datos se cargan primero en la dimensión más baja y luego se consumen en una dimensión superior. Este paso se realiza cuando se agrega el ruido gaussiano para formar los datos del conjunto. En el nuevo diseño de memoria, la dimensión del conjunto se agrega a la dimensión más baja para reducir la posible divergencia de ramas. El impacto de la inevitable divergencia de rama debido a la irregularidad de los datos, causada por el ruido, se minimiza mediante una técnica de regularización que utiliza la memoria en el chip. Además, la memoria caché se utiliza para amortizar los accesos inevitables a la memoria no fusionada. ^[5]

Descomposición de modo empírico multidimensional rápida y adaptativa.

Concepto

La descomposición de modo empírico bidimensional rápida y adaptativa (FABEMD) es una versión mejorada de la BEMD tradicional. ^[6] El FABEMD se puede utilizar en muchas áreas, incluido el análisis de imágenes médicas, el análisis de texturas, etc. El filtro de estadísticas de pedidos puede ayudar a resolver los problemas de eficiencia y restricción de tamaño en BEMD.

Basado en el algoritmo de BEMD, el método de implementación de FABEMD es realmente similar a BEMD, pero el enfoque de FABEMD simplemente cambia el paso de interpolación a un método de estimación de envolvente directa y restringe el número de iteraciones para cada BIMF a una. Como resultado, se utilizarán dos estadísticas de orden, incluidas MAX y MIN, para aproximar la envolvente superior e inferior. El tamaño del filtro dependerá de los mapas de máximos y mínimos obtenidos de la entrada. Los pasos del algoritmo FABEMD se enumeran a continuación.

Algoritmo FABEMD[6]

Paso 1: determinar y detectar máximos y mínimos locales

Como en el enfoque BEMD tradicional, podemos encontrar el j-ésimo ITS-BIMF de cualquier fuente de entrada mediante el método de ventana vecina. Para el enfoque FABEMD, elegimos un enfoque de implementación diferente. ${\displaystyle F_{Tj}}$ ${\displaystyle S_{i}}$

A partir de los datos de entrada, podemos obtener una matriz 2D que representa

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{*{20}{c}}a_{11}&\cdots &a_{1N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{M1}&\cdots &a_{MN}\end{array}}\right)}$^[6]

¿Dónde está la ubicación del elemento en la matriz A y podemos definir el tamaño de la ventana ? Así, podemos obtener el valor máximo y mínimo de la matriz de la siguiente manera: ${\displaystyle a_{MN}}$ ${\displaystyle w_{ex}\times w_{ex}}$

${\displaystyle a_{mn}\triangleq {\begin{cases}{\text{local max}}&{\text{if }}a_{mn}>a_{k\ell },\\{\text{local min}}&{\text{if }}a_{mn}<a_{k\ell },\end{cases}}}$^[6]

dónde

${\displaystyle k=m-{\frac {w_{ex}-1}{2}}:m+{\frac {w_{ex}-1}{2}},(k\neq m)}$^[6]

${\displaystyle \ell =n-{\frac {w_{ex}-1}{2}}:n+{\frac {w_{ex}-1}{2}},(\ell \neq n)}$^[6]

Diagrama de flujo del algoritmo FABEMD ^[7]

Paso 2: obtenga el tamaño de la ventana para el filtro de estadísticas de pedidos

Al principio, definimos y como la distancia máxima y mínima en la matriz que se calcula desde cada punto máximo o mínimo local hasta el elemento distinto de cero más cercano. Además, y se ordenarán en orden descendente en la matriz según la selección conveniente. En caso contrario, sólo consideraremos ventana cuadrada. Por tanto, el ancho bruto de la ventana será el siguiente: ${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\max }}$ ${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\min }}$ ${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\max }}$ ${\displaystyle d_{\mathrm {adj} -\min }}$

${\displaystyle w_{\max {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {minimum} \{d_{\mathrm {adj} -\max }\}}$^[6]

${\displaystyle w_{\max {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {maximum} \{d_{\mathrm {adj} -\max }\}}$^[6]

${\displaystyle w_{\min {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {minimum} \{d_{\mathrm {adj} -\min }\}}$^[6]

${\displaystyle w_{\min {\rm {\_en-g}}}=\operatorname {maximum} \{d_{\mathrm {adj-\min } }\}}$^[6]

Paso 3: aplique estadísticas de orden y filtros de suavizado para obtener la salida del filtro MAX y MIN

Para obtener las envolventes superior e inferior se deben definir dos parámetros y , y la ecuación será la siguiente: ${\displaystyle U_{Ej}(x,y)}$ ${\displaystyle L_{Ej}(x,y)}$

${\displaystyle U_{Ej}(x,y)=\max\{F_{Tj}(s,t)\}={\frac {1}{w_{sm}\times w_{sm}}}\sum _{(s,t)\in Z_{xy}}{U_{Ej}}(s,t)}$^[6]

${\displaystyle L_{Ej}(x,y)=\min\{F_{Tj}(s,t)\}={\frac {1}{w_{sm}\times w_{sm}}}\sum _{(s,t)\in Z_{xy}}L_{Ej}(s,t)}$^[6]

donde se define como la región cuadrada del tamaño de la ventana y es el ancho de la ventana del filtro de suavizado que es igual a . Por lo tanto, los filtros MAX y MIN formarán una nueva matriz 2D para la superficie envolvente que no cambiará los datos de entrada 2D originales. ^[8] ${\displaystyle Z_{xy}}$ ${\displaystyle w_{sm}}$ ${\displaystyle w_{sm}}$ ${\displaystyle w_{en}}$

Paso 4: configurar una estimación de los sobres superior e inferior

Este paso es para garantizar que la estimación de la envolvente en FABEMD esté casi cerrada al resultado de BEMD mediante el uso de interpolación. Para hacer la comparación, necesitamos formar matrices correspondientes para la envolvente superior, la envolvente inferior y la envolvente media mediante el uso de interpolación de superficie spline de placa delgada para los mapas máximo y mínimo.

Ventajas

Este método (FABEMD) proporciona una forma de utilizar menos cálculos para obtener el resultado rápidamente y nos permite garantizar una estimación más precisa de los BIMF. Aún más, el FABEMD es más adaptable para manejar entradas de gran tamaño que el BEMD tradicional. De lo contrario, FABEMD es un método eficiente en el que no es necesario considerar los efectos de límite y los problemas de exceso o defecto.

Limitaciones

Hay un problema particular al que nos enfrentaremos en este método. A veces, solo habrá un elemento máximo o mínimo local en los datos de entrada, por lo que la matriz de distancias estará vacía.

Descomposición en modo empírico multidimensional basada en ecuaciones diferenciales parciales

Concepto

El enfoque de descomposición de modo empírico multidimensional basado en ecuaciones diferenciales parciales (MEMD basado en PDE) es una forma de mejorar y superar las dificultades de la estimación de la envolvente media de una señal del EMD tradicional. Los MEMD basados ​​en PDE se centran en modificar el algoritmo original de MEMD. Por lo tanto, el resultado proporcionará una formulación analítica que puede facilitar el análisis teórico y la observación del desempeño. Para realizar EMD multidimensional, necesitamos extender el proceso de tamizado basado en PDE 1-D ^[9] al espacio 2-D como se muestra en los pasos a continuación.

Aquí, tomamos como ejemplo el EMD basado en PDE 2-D.

Algoritmo BEMD basado en PDE[9]

Paso 1: ampliar el modelo de superdifusión de 1D a 2D

Considerada una función de matriz de súper difusión.

${\displaystyle G_{q}(x)=\left({\begin{array}{*{20}{c}}g_{q,1}(x)&0\\0&g_{q,2}(x)\end{array}}\right)}$^[9]

donde representa la función de parada de orden q en la dirección i. ${\displaystyle {g_{q,i}}(x)}$

Entonces, basándose en las ecuaciones de Navier-Stokes , la ecuación de difusión será:

${\displaystyle u_{t}(x,t)=\operatorname {div} (\alpha {G_{1}}\nabla u(x,t)-(1-\alpha ){G_{2}}\nabla \Delta u(x,t))}$^[9]

¿Dónde está el parámetro de tensión? Supusimos que . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle q=2}$

Paso 2: conectar la relación entre el modelo de difusión y las PDE en la superficie implícita

Para relacionarla con las PDE, la ecuación dada será

${\displaystyle u_{t}(x,t)=-(-1)^{q}\nabla _{S}^{2q}u(x,t)}$  ^[9]

donde es el operador diferencial de segundo orden en u intrínseco a la superficie S, y la condición inicial para la ecuación será para cualquier y en la superficie S. ${\displaystyle \nabla _{S}^{2q}}$ ${\displaystyle u(y,t)=f}$

Paso 3: considere todas las resoluciones numéricas

Para obtener el resultado teórico y del análisis de la ecuación anterior, debemos hacer una suposición.

Suposición:

Se supone que los esquemas de resolución numérica son PDE de cuarto orden sin tensión, y la ecuación para PDE de cuarto orden será

${\displaystyle u_{t}=-\sum _{i,j=1}^{2}\partial _{x_{i}}^{1}(g_{i}\partial _{x_{i}}^{1}\partial _{x_{j}}^{2}u)}$  ^[9]

En primer lugar, haremos un esquema explícito aproximando el proceso de tamizado basado en PDE.

${\displaystyle U^{k+1}=\left(I-\Delta t\sum _{i,j=1}^{2}L_{ij}\right)U^{k}}$  ^[9]

donde es un vector que consta del valor de cada píxel, es una matriz que es una aproximación diferencial al operador y es un pequeño paso de tiempo. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta t}$

En segundo lugar, podemos utilizar el esquema de división de operadores aditivos (AOS) ^[10] para mejorar la propiedad de estabilidad, porque el paso de tiempo pequeño será inestable cuando se trata de un paso de tiempo grande. ${\displaystyle \Delta t}$

Finalmente, podemos utilizar el esquema implícito de dirección alterna (ADI). Al utilizar esquemas de tipo ADI, se sugiere mezclar un término derivado para superar el problema de que los esquemas de tipo ADI solo pueden usarse en ecuaciones de difusión de segundo orden. La ecuación resuelta numéricamente será:

${\displaystyle U^{k+1}=\left(\prod _{n=1}^{2}(I-\Delta tA_{nn})\right)^{-1}(I+\Delta t\sum _{i=1}^{2}\sum _{j\neq i}A_{ij})U^{k}}$^[9]

donde hay una matriz que es la aproximación en diferencia central al operador ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle a_{ij}\partial _{x_{i}}^{1}\partial _{x_{j}}^{2}}$

Ventajas

Basado directamente en las ecuaciones de Navier-Stokes , este enfoque proporciona una buena manera de obtener y desarrollar resultados teóricos y numéricos. En particular, el BEMD basado en PDE puede funcionar bien para campos de descomposición de imágenes. Este enfoque se puede aplicar para extraer señales transitorias y evitar la caracterización de indeterminación en algunas señales.

Procesamiento de límites en descomposición empírica bidimensional.

Concepto

Existen algunos problemas en BEMD y en la implementación de extensión de límites en el proceso de cribado iterativo, incluido el consumo de tiempo, la forma y continuidad de los bordes, la comparación de los resultados de la descomposición, etc. Para solucionar estos problemas, se creó el método de procesamiento de límites en descomposición empírica bidimensional (BPBEMD) . Los puntos principales del nuevo algoritmo del método se describirán a continuación.

Algoritmo BPBEMD[11]

Los pocos pasos básicos para el algoritmo BPBEMD son:

Paso 1

Suponiendo que el tamaño de los datos de entrada originales y los datos resultantes sean y , respectivamente, también podemos definir que la matriz de datos de entrada original esté en el medio de la matriz de datos resultante. ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle (N+2M)\times (N+2M)}$

Paso 2

Divida tanto la matriz de datos de entrada original como la matriz de datos resultante en bloques de tamaño. ${\displaystyle M\times M}$

Paso 3

Encuentre el bloque que sea más similar a su bloque vecino en la matriz de datos de entrada original y colóquelo en la matriz de datos resultante correspondiente.

Etapa 4

Forme una matriz de distancias en la que los elementos de la matriz estén ponderados por diferentes distancias entre cada bloque desde esos límites.

Paso 5

Implemente una extensión iterativa cuando la matriz de datos resultante enfrenta una gran extensión de límites, podemos ver que el bloque en la matriz de datos de entrada original corresponde al bloque en la matriz de datos resultante.

Ventajas

Este método puede procesar una mayor cantidad de elementos que el método BEMD tradicional. Además, puede acortar el tiempo que lleva el proceso. Dependiendo del uso de síntesis de textura basada en muestreo no paramétrico, BPBEMD podría obtener mejores resultados después de descomponer y extraer.

Limitaciones

Debido a que la mayoría de las entradas de imágenes no son estacionarias y no existen problemas de límites, el método BPBEMD aún carece de evidencia suficiente de que sea adaptable a todo tipo de datos de entrada. Además, este método está estrictamente restringido a su uso en análisis de texturas y procesamiento de imágenes.

Aplicaciones

En la primera parte, estas técnicas MEEMD se pueden utilizar en conjuntos de datos geofísicos, como la variabilidad de datos climáticos, magnéticos y sísmicos, que aprovechan el rápido algoritmo de MEEMD. El MEEMD se utiliza a menudo para el filtrado de datos geofísicos no lineales debido a sus algoritmos rápidos y su capacidad para manejar grandes cantidades de conjuntos de datos con el uso de compresión sin perder información clave. El IMF también se puede utilizar como mejora de la señal del radar de penetración terrestre para el procesamiento de datos no lineales; Es muy eficaz para detectar límites geológicos a partir del análisis de anomalías de campo. ^[12]

En la segunda parte, MEMD y FAMEMD basados ​​en PDE se pueden implementar en procesamiento de audio, procesamiento de imágenes y análisis de texturas. Debido a sus diversas propiedades, incluida la estabilidad, el menor consumo de tiempo, etc., el método MEMD basado en PDE funciona bien para la descomposición adaptativa, la eliminación de ruido de datos y el análisis de textura. Además, FAMEMD es un excelente método para reducir el tiempo de cálculo y tener una estimación precisa en el proceso. Finalmente, el método BPBEMD tiene un buen rendimiento para el procesamiento de imágenes y el análisis de texturas debido a su propiedad para resolver los problemas de límites de extensión en técnicas recientes.

Referencias

1. Sonam Maheshwari; Ankur Kumar (2014). "Descomposición en modo empírico: teoría y aplicaciones" (PDF) . Revista Internacional de Ingeniería Electrónica y Eléctrica . 7 (8): 873–878. ISSN  0974-2174.
2. NE Huang, Z. Shen, et al., "La descomposición del modo empírico y el espectro de Hilbert para el análisis de series temporales no lineales y no estacionarias", Actas: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería, vol. 454, págs. 903–995, 1998.
3. Chih-Sung Chen, Yih Jeng, "Filtrado de datos geofísicos no lineales bidimensionales utilizando el método EEMD multidimensional", Departamento de Ciencias de la Tierra, Universidad Nacional Normal de Taiwán, 88, sec. 4, Ting-Chou Road, Taipei, 116, Taiwán, República de China
4. Wu Z, Feng J, Qiao F, Tan ZM, "2016 Descomposición rápida en modo empírico de conjuntos multidimensionales para el análisis de grandes conjuntos de datos espacio-temporales", Phil. Trans. R. Soc. A 374: 20150197.
5. Li-Wen Chang, Men-Tzung Lo, Nasser Anssari, Ke-Hsin Hsu, Norden E. Huang, Wen-mei W. Hwu. "Implementación paralela de la descomposición en modo conjunto multidimensional".
6. Sharif MA Bhuiyan, Reza R. Adhami, Jesmin F. Khan, "Un enfoque novedoso de descomposición en modo empírico bidimensional rápido y adaptativo", Conferencia internacional IEEE sobre acústica, habla y procesamiento de señales , 2008.
7. Bhuiyan, Sharif MA; Adhami, Reza R.; Khan, Jesmin F. (2008). "Un enfoque novedoso de descomposición de modo empírico bidimensional rápido y adaptativo". Conferencia internacional IEEE 2008 sobre acústica, habla y procesamiento de señales . págs. 1313-1316. doi :10.1109/ICASSP.2008.4517859. ISBN 978-1-4244-1483-3. S2CID  18226941.
8. David Looney y Danilo P. Mandic, "Fusión de imágenes multiescala utilizando extensiones complejas de EMD", Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales , vol. 57, núm. 4, abril de 2009
9. Oumar Niang, Abdoulaye Thioune, Mouhamed Cheikh El Gueirea, Eric Deléchelle y Jacques Lemoine, "Enfoque basado en ecuaciones diferenciales parciales para la descomposición en modo empírico: aplicación al análisis de imágenes", IEEE Transactions on Image Processing , vol. 21, núm. 9, septiembre de 2012
10. "Emanuele Galligani, "Métodos de división de operadores aditivos para resolver sistemas de diferencias finitas no lineales", Quaderni del Dipartimento di Matematica, Università di Modena e Reggio Emilia, n. 61, marzo de 2005" (PDF) .
11. Zhongxuan Liu y Silong Peng, "Procesamiento de límites de EMD bidimensional mediante síntesis de textura", Cartas de procesamiento de señales IEEE, vol. 12, núm. 1, enero de 2005
12. Bhuiyan, SMA, Attoh-Okine, NO, Barner, KE, Ayenu, AY, Adhami, RR, 2009. "Descomposición en modo empírico bidimensional utilizando diversas técnicas de interpolación", Adv. Adaptar. Análisis de datos. 1, 309–338.