Descartes sobre los poliedros: un estudio del «De solidorum elementis» es un libro de historia de las matemáticas que trata sobre el trabajo de René Descartes sobre los poliedros . El tema central del libro es la disputa sobre la prioridad de la fórmula poliédrica de Euler entre Leonhard Euler , que publicó una versión explícita de la fórmula, y Descartes, cuyo De solidorum elementis incluye un resultado del que se deriva fácilmente la fórmula. [1]
Descartes sobre los poliedros fue escrito por Pasquale Joseph Federico (1902-1982) y publicado póstumamente por Springer-Verlag en 1982, con la ayuda de la viuda de Federico, Bianca M. Federico, como volumen 4 de su serie de libros Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. [2] El Comité de la Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de Estados Unidos ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [3]
El manuscrito original en latín de De solidorum elementis fue escrito alrededor de 1630 por Descartes; la crítica Marjorie Senechal lo llama "el primer tratamiento general de los poliedros", el único trabajo de Descartes en esta área, y está inacabado, con sus afirmaciones desordenadas y algunas incorrectas. [4] Apareció en Estocolmo en la propiedad de Descartes después de su muerte en 1650, estuvo empapado durante tres días en el Sena cuando el barco que lo transportaba de regreso a París naufragó, y sobrevivió lo suficiente para que Gottfried Wilhelm Leibniz lo copiara en 1676 antes de desaparecer para siempre. La copia de Leibniz, también perdida, fue redescubierta en Hannover alrededor de 1860. La primera parte de Descartes sobre los poliedros relata esta historia, esboza la biografía de Descartes, proporciona una reproducción facsímil de once páginas de la copia de Leibniz y ofrece una transcripción, traducción al inglés y comentarios sobre este texto, incluidas explicaciones de algunas de sus notaciones. [2] [5]
En De solidorum elementis , Descartes enuncia (sin prueba) el teorema de Descartes sobre el defecto angular total , una versión discreta del teorema de Gauss-Bonnet según el cual los defectos angulares de los vértices de un poliedro convexo (la cantidad en la que los ángulos en ese vértice se quedan cortos respecto del ángulo que rodea cualquier punto en un plano) siempre suman exactamente . Descartes utilizó este teorema para demostrar que los cinco sólidos platónicos son los únicos poliedros regulares posibles. También es posible derivar la fórmula de Euler que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo a partir del teorema de Descartes, [2] y De solidorum elementis también incluye una fórmula que se asemeja más a la de Euler que relaciona el número de vértices, caras y ángulos planos de un poliedro. [1] Desde el redescubrimiento del manuscrito de Descartes, muchos académicos han argumentado que el crédito por la fórmula de Euler debería atribuírsele a Descartes en lugar de a Leonhard Euler , quien publicó la fórmula (con una prueba incorrecta) en 1752. La segunda parte de Descartes on Polyhedra revisa este debate y compara el razonamiento de Descartes y Euler sobre estos temas. Finalmente, el libro concluye que Descartes probablemente no descubrió la fórmula de Euler, y los revisores Senechal y HSM Coxeter están de acuerdo, escribiendo que Descartes no tenía un concepto para las aristas de un poliedro, y sin eso no podría haber formulado la fórmula de Euler en sí. [2] [4] Posteriormente, a este trabajo, se descubrió que Francesco Maurolico había proporcionado un predecesor más directo y mucho más temprano al trabajo de Euler, una observación en 1537 (sin prueba de su aplicabilidad más general) de que la fórmula de Euler en sí es válida para los cinco sólidos platónicos. [6]
La segunda parte del libro de Descartes, y la tercera parte de Descartes sobre los poliedros , conecta la teoría de los poliedros con la teoría de números . Se ocupa de los números figurados definidos por Descartes a partir de poliedros, generalizando las definiciones griegas clásicas de números figurados, como los números cuadrados y los números triangulares , a partir de polígonos bidimensionales . En esta parte, Descartes utiliza tanto los sólidos platónicos como algunos de los poliedros semirregulares , pero no los poliedros chatos . [2] [7]
El crítico FA Sherk, tras señalar la obvia relevancia de Descartes on Polyhedra para los historiadores de las matemáticas, lo recomienda también a los geómetras y a los matemáticos aficionados. Escribe que proporciona una buena introducción a algunos temas importantes en las matemáticas de los poliedros, establece una conexión interesante con la teoría de números y es fácil de leer sin muchos conocimientos previos. [7] Marjorie Senechal señala que, más allá de la cuestión de la prioridad entre Descartes y Euler, el libro también es útil para arrojar luz sobre lo que se sabía de la geometría en general en la época de Descartes. [4] Más brevemente, el crítico L. Führer dice que el libro es hermoso, legible y animado, pero caro. [5]
