Pila Deligne-Mumford

Tipo de objeto en geometría algebraica

En geometría algebraica , una pila de Deligne-Mumford es una pila F tal que

1. el morfismo diagonal es representable , cuasicompacto y separado. ${\displaystyle F\to F\times F}$
2. Existe un esquema U y un mapa sobreyectivo étale (llamado atlas). ${\displaystyle U\to F}$

Pierre Deligne y David Mumford introdujeron esta noción en 1969 cuando demostraron que los espacios de módulo de curvas estables de género aritmético fijo son pilas suaves y adecuadas de Deligne-Mumford.

Si el "étale" se debilita a " suave ", entonces dicha pila se llama pila algebraica (también llamada pila de Artin, en honor a Michael Artin ). Un espacio algebraico es Deligne-Mumford.

Un hecho clave acerca de una pila F de Deligne-Mumford es que cualquier X en , donde B es casi compacto, tiene solo un número finito de automorfismos. Una pila de Deligne-Mumford admite una presentación mediante un grupoide ; ver esquema grupoide . ${\displaystyle F(B)}$

Ejemplos

Pilas afines

Las pilas de Deligne-Mumford generalmente se construyen tomando el cociente de pila de alguna variedad donde los estabilizadores son grupos finitos. Por ejemplo, considere la acción del grupo cíclico sobre dada por ${\displaystyle C_{n}=\langle a\mid a^{n}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle a\cdot \colon (x,y)\mapsto (\zeta _{n}x,\zeta _{n}y).}$$

${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}/C_{n}]}$ ${\displaystyle ({\text{Sch}}/\mathbb {C} )_{fppf}}$ ${\displaystyle S\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s]/(s^{n}-1))\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S)\rightrightarrows {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S).}$$

${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\in {\text{Sch}}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} [\zeta _{n}])}$

Línea proyectiva ponderada

Surgen ejemplos no afines al tomar el cociente de pila para variedades/espacios proyectivos ponderados. Por ejemplo, el espacio se construye mediante el cociente de pila donde la acción está dada por ${\displaystyle \mathbb {P} (2,3)}$ ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}-\{0\}/\mathbb {C} ^{*}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

$${\displaystyle \lambda \cdot (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y).}$$

${\displaystyle (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle \lambda =\zeta _{2}}$ ${\displaystyle \lambda =\zeta _{3}}$

curva apilada

Sin ejemplo

Un simple no ejemplo de una pila Deligne-Mumford es que tiene un estabilizador infinito. Las pilas de esta forma son ejemplos de pilas de Artin. ${\displaystyle [pt/\mathbb {C} ^{*}]}$

Referencias

• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240