Integral de Darboux

Integral construida utilizando sumas de Darboux

En el análisis real , la integral de Darboux se construye utilizando sumas de Darboux y es una posible definición de la integral de una función . Las integrales de Darboux son equivalentes a las integrales de Riemann , lo que significa que una función es integrable mediante Darboux si y solo si es integrable mediante Riemann, y los valores de las dos integrales, si existen, son iguales. ^[1] La definición de la integral de Darboux tiene la ventaja de ser más fácil de aplicar en cálculos o demostraciones que la de la integral de Riemann. En consecuencia, los libros de texto introductorios sobre cálculo y análisis real a menudo desarrollan la integración de Riemann utilizando la integral de Darboux, en lugar de la verdadera integral de Riemann. ^[2] Además, la definición se extiende fácilmente para definir la integración de Riemann-Stieltjes . ^[3] Las integrales de Darboux reciben su nombre de su inventor, Gaston Darboux (1842-1917).

Definición

La definición de la integral de Darboux considera las integrales superior e inferior (Darboux) , que existen para cualquier función real acotada en el intervalo La integral de Darboux existe si y solo si las integrales superior e inferior son iguales. Las integrales superior e inferior son a su vez el ínfimo y el supremo , respectivamente, de las sumas superior e inferior (Darboux) que sobreestiman y subestiman, respectivamente, el "área bajo la curva". En particular, para una partición dada del intervalo de integración, las sumas superior e inferior suman las áreas de las porciones rectangulares cuyas alturas son el supremo y el ínfimo, respectivamente, de f en cada subintervalo de la partición. Estas ideas se precisan a continuación: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Sumas de Darboux

Sumas de Darboux inferior (verde) y superior (verde más lavanda) para cuatro subintervalos

Una partición de un intervalo es una secuencia finita de valores tales que ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}$

Cada intervalo se denomina subintervalo de la partición. Sea una función acotada y sea ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$

sea ​​una partición de . Sea ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

La suma Darboux superior de con respecto a es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}$

La suma de Darboux inferior de con respecto a es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}$

Las sumas Darboux inferior y superior a menudo se denominan sumas inferior y superior.

Integrales de Darboux

La integral de Darboux superior de f es

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

La integral de Darboux inferior de f es

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

En alguna literatura, un símbolo integral con un subrayado y una raya superior representa las integrales de Darboux inferior y superior respectivamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}$

y, al igual que las sumas de Darboux, a veces se las llama simplemente integrales inferior y superior .

Si U _f  =  L _f , entonces llamamos al valor común la integral de Darboux . ^[4] También decimos que f es integrable en Darboux o simplemente integrable y establecemos

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}$

Un criterio equivalente y a veces útil para la integrabilidad de f es mostrar que para cada ε > 0 existe una partición P _ε de [ a ,  b ] tal que ^[5]

${\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}$

Propiedades

• Para cualquier partición dada, la suma Darboux superior siempre es mayor o igual que la suma Darboux inferior. Además, la suma Darboux inferior está limitada por debajo por el rectángulo de ancho ( b − a ) y alto inf( f ) tomado sobre [ a ,  b ]. Del mismo modo, la suma superior está limitada por arriba por el rectángulo de ancho ( b − a ) y alto sup( f ).

  ${\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$

• Las integrales de Darboux inferior y superior satisfacen

  ${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$

• Dado cualquier c en ( a ,  b )

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Las integrales de Darboux superior e inferior no son necesariamente lineales. Supongamos que g :[ a ,  b ] → R también es una función acotada, entonces las integrales superior e inferior satisfacen las siguientes desigualdades:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}$

• Para una constante c ≥ 0 tenemos

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Para una constante c ≤ 0 tenemos

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Considere la función

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$

entonces F es Lipschitz continua . Un resultado idéntico se obtiene si F se define utilizando una integral de Darboux superior.

Ejemplos

Una función integrable en Darboux

Supongamos que queremos demostrar que la función es integrable mediante Darboux en el intervalo y determinar su valor. Para ello, realizamos una partición en subintervalos de igual tamaño, cada uno de longitud . Denotamos una partición de subintervalos de igual tamaño como . ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Ahora bien, como es estrictamente creciente en , el ínfimo en cualquier subintervalo particular está dado por su punto inicial. Asimismo, el supremo en cualquier subintervalo particular está dado por su punto final. El punto inicial del -ésimo subintervalo en es y el punto final es . Por lo tanto, la suma Darboux inferior en una partición está dada por ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (k-1)/n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

De manera similar, la suma superior de Darboux está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

Desde

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}$

Por lo tanto, para cualquier dado , tenemos que cualquier partición con satisface ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }$

lo que demuestra que es integrable según Darboux. Para hallar el valor de la integral, tenga en cuenta que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}$

Sumas de Darboux

Una función no integrable

Supongamos que tenemos la función de Dirichlet definida como ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Dado que los números racionales e irracionales son ambos subconjuntos densos de , se deduce que toma el valor de 0 y 1 en cada subintervalo de cualquier partición. Por lo tanto, para cualquier partición tenemos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}$

de lo cual podemos ver que las integrales de Darboux inferior y superior son desiguales.

Refinamiento de una partición y relación con la integración de Riemann

Al pasar a un refinamiento, la suma inferior aumenta y la suma superior disminuye.

Un refinamiento de la partición es una partición tal que para todo i = 0, …, n existe un entero r ( i ) tal que ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$

${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.}$

En otras palabras, para realizar un refinamiento, corte los subintervalos en pedazos más pequeños y no elimine ningún corte existente.

Si es un refinamiento de entonces ${\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}$ ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}$

${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}$

y

${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}$

Si P ₁ , P ₂ son dos particiones del mismo intervalo (una no necesita ser un refinamiento de la otra), entonces

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}$

y se deduce que

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}$

Las sumas de Riemann siempre se encuentran entre las sumas Darboux superior e inferior correspondientes. Formalmente, si y forman juntas una partición etiquetada ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}$

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}$

(como en la definición de la integral de Riemann ), y si la suma de Riemann de es igual a R correspondiente a P y T , entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.}$

Del hecho anterior se deduce que las integrales de Riemann son al menos tan fuertes como las integrales de Darboux: si existe la integral de Darboux, entonces las sumas de Darboux superior e inferior correspondientes a una partición suficientemente fina estarán próximas al valor de la integral, por lo que cualquier suma de Riemann sobre la misma partición también estará próxima al valor de la integral. Existe (ver más abajo) una partición etiquetada que se acerca arbitrariamente al valor de la integral de Darboux superior o de la integral de Darboux inferior y, en consecuencia, si existe la integral de Riemann, entonces también debe existir la integral de Darboux.

Véase también

• Integral regulada
• Integración de Lebesgue
• Rectángulo delimitador mínimo

Notas

1. David J. Foulis; Mustafa A. Munem (1989). Después del cálculo: análisis. Compañía editorial Dellen. pag. 396.ISBN​ 978-0-02-339130-9.
2. Spivak, M. (1994). Cálculo (3.ª edición) . Houston, TX: Publish Or Perish, Inc., págs. 253-255. ISBN 0-914098-89-6.
3. Rudin, W. (1976). Principios del análisis matemático (3.ª edición) . Nueva York: McGraw-Hill. pp. 120-122. ISBN. 007054235X.
4. Wolfram MathWorld
5. Spivak 2008, capítulo 13.

Referencias

• "Integral de Darboux". Wolfram MathWorld . Consultado el 8 de enero de 2013 .
• Integral de Darboux en Enciclopedia de Matemáticas
• "Suma de Darboux", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Spivak, Michael (2008), Cálculo (4.ª ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0914098911
• "Equivalencia de las integrales de Darboux y Riemann".^{[ enlace de YouTube muerto ]}