Teorema de Danskin

En el análisis convexo , el teorema de Danskin es un teorema que proporciona información sobre las derivadas de una función de la forma $${\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}$$

El teorema tiene aplicaciones en optimización , donde a veces se utiliza para resolver problemas minimax . El teorema original dado por JM Danskin en su monografía de 1967 ^[1] proporciona una fórmula para la derivada direccional del máximo de una función direccionalmente diferenciable (no necesariamente convexa).

Una ampliación a condiciones más generales fue probada en 1971 por Dimitri Bertsekas.

Declaración

La siguiente versión está probada en "Programación no lineal" (1991). ^[2] Supongamos que es una función continua de dos argumentos, donde es un conjunto compacto . ${\displaystyle \phi (x,z)}$ $${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\times Z\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle Z\subset \mathbb {R} ^{m}}$

En estas condiciones, el teorema de Danskin proporciona conclusiones respecto a la convexidad y diferenciabilidad de la función. Para enunciar estos resultados, definimos el conjunto de puntos de maximización como $${\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}$$ ${\displaystyle Z_{0}(x)}$ $${\displaystyle Z_{0}(x)=\left\{{\overline {z}}:\phi (x,{\overline {z}})=\max _{z\in Z}\phi (x,z)\right\}.}$$

El teorema de Danskin proporciona entonces los siguientes resultados.

Convexidad

${\displaystyle f(x)}$es convexo si es convexo en para cada . ${\displaystyle \phi (x,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\in Z}$

Semidiferencial direccional

La semidiferencial de en la dirección , denotada se da por donde es la derivada direccional de la función en en la dirección ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial _{y}\ f(x),}$ $${\displaystyle \partial _{y}f(x)=\max _{z\in Z_{0}(x)}\phi '(x,z;y),}$$ ${\displaystyle \phi '(x,z;y)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Derivado

${\displaystyle f(x)}$es diferenciable en si consta de un solo elemento . En este caso, la derivada de (o el gradiente de si es un vector) está dada por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Z_{0}(x)}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial \phi (x,{\overline {z}})}{\partial x}}.}$$

Ejemplo de noderivada direccional

En el enunciado de Danskin, es importante concluir que es semidiferenciable y no que es derivada direccional, como explica este sencillo ejemplo. Si establecemos , obtenemos que es semidiferenciable con pero no tiene derivada direccional en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z=\{-1,+1\},\ \phi (x,z)=zx}$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle \partial _{-}f(0)=-1,\partial _{+}f(0)=+1}$ ${\displaystyle x=0}$

Subdiferencial

Si es diferenciable con respecto a para todos y si es continua con respecto a para todos , entonces el subdiferencial de está dado por donde indica la operación de envoltura convexa . ${\displaystyle \phi (x,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle \partial \phi /\partial x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \partial f(x)=\mathrm {conv} \left\{{\frac {\partial \phi (x,z)}{\partial x}}:z\in Z_{0}(x)\right\}}$$ ${\displaystyle \mathrm {conv} }$

Extensión

La tesis doctoral de 1971 de Dimitri P. Bertsekas (Proposición A.22) ^[3] demuestra un resultado más general, que no requiere que sea diferenciable. En cambio, supone que es una función convexa propia cerrada de valor real extendida para cada en el conjunto compacto que el interior del dominio efectivo de no está vacío, y que es continua en el conjunto Entonces, para todos en el subdiferencial de at está dado por donde es el subdiferencial de at para cualquier en ${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f)),}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f))\times Z.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f)),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \partial f(x)=\operatorname {conv} \left\{\partial \phi (x,z):z\in Z_{0}(x)\right\}}$$ ${\displaystyle \partial \phi (x,z)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z.}$

Véase también

• Teorema del máximo
• Teorema de la envolvente
• Lema de Hotelling

Referencias

1. Danskin, John M. (1967). La teoría de Max-Min y su aplicación a los problemas de asignación de armas . Nueva York: Springer.
2. Bertsekas, Dimitri P. (1999). Programación no lineal (segunda edición). Belmont, Massachusetts. ISBN 1-886529-00-0.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
3. Bertsekas, Dimitri P. (1971). Control de sistemas inciertos con una descripción de la incertidumbre en términos de pertenencia a conjuntos (PDF) (PhD). Cambridge, MA: MIT.