Armónicos cilíndricos

En matemáticas , los armónicos cilíndricos son un conjunto de funciones linealmente independientes que son soluciones de la ecuación diferencial de Laplace , expresadas en coordenadas cilíndricas , ρ (coordenada radial), φ (ángulo polar) y z (altura). Cada función V _n ( k ) es el producto de tres términos, cada uno de los cuales depende de una sola coordenada. El término dependiente de ρ viene dado por las funciones de Bessel (que ocasionalmente también se denominan armónicos cilíndricos). ${\displaystyle \nabla ^{2}V=0}$

Definición

Cada función de esta base está formada por el producto de tres funciones: donde son las coordenadas cilíndricas, y n y k son constantes que diferencian los miembros del conjunto. Como resultado del principio de superposición aplicado a la ecuación de Laplace, se pueden obtener soluciones muy generales de la ecuación de Laplace mediante combinaciones lineales de estas funciones. ${\displaystyle V_{n}(k)}$ $${\displaystyle V_{n}(k;\rho ,\varphi ,z)=P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,}$$ ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$

Como todas las superficies con ρ, φ y z constantes   son cónicas, la ecuación de Laplace es separable en coordenadas cilíndricas. Utilizando la técnica de separación de variables , una solución separada de la ecuación de Laplace se puede expresar como: y la ecuación de Laplace, dividida por V , se escribe: $${\displaystyle V=P(\rho )\,\Phi (\varphi )\,Z(z)}$$ $${\displaystyle {\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$$

La parte Z   de la ecuación es una función de z únicamente y, por lo tanto, debe ser igual a una constante: donde k   es, en general, un número complejo . Para un k particular , la función Z ( z ) tiene dos soluciones linealmente independientes. Si k es real, son: o por su comportamiento en el infinito: $${\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=k^{2}}$$ $${\displaystyle Z(k,z)=\cosh(kz)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sinh(kz)\,}$$ $${\displaystyle Z(k,z)=e^{kz}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-kz}\,}$$

Si k es imaginario: o: $${\displaystyle Z(k,z)=\cos(|k|z)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(|k|z)\,}$$ $${\displaystyle Z(k,z)=e^{i|k|z}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-i|k|z}\,}$$

Se puede observar que las funciones Z ( k , z ) son los núcleos de la transformada de Fourier o la transformada de Laplace de la función Z ( z ) y, por lo tanto, k puede ser una variable discreta para condiciones de límite periódicas, o puede ser una variable continua para condiciones de límite no periódicas.

Sustituyendo por  , la ecuación de Laplace ahora puede escribirse: ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}$ $${\displaystyle {\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+k^{2}=0}$$

Multiplicando por , ahora podemos separar las funciones P   y Φ e introducir otra constante ( n ) para obtener: ${\displaystyle \rho ^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}=-n^{2}}$$ $${\displaystyle \rho ^{2}{\frac {\ddot {P}}{P}}+\rho {\frac {\dot {P}}{P}}+k^{2}\rho ^{2}=n^{2}}$$

Como es periódica, podemos considerar que n es un entero no negativo y, en consecuencia, las constantes están subíndices. Las soluciones reales para son o, equivalentemente: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi (\varphi )}$ ${\displaystyle \Phi (\varphi )}$ $${\displaystyle \Phi _{n}=\cos(n\varphi )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(n\varphi )}$$ $${\displaystyle \Phi _{n}=e^{in\varphi }\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-in\varphi }}$$

La ecuación diferencial para es una forma de la ecuación de Bessel. ${\displaystyle \rho }$

Si k es cero, pero n no lo es, las soluciones son: $${\displaystyle P_{n}(0,\rho )=\rho ^{n}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\rho ^{-n}\,}$$

Si tanto k como n son cero, las soluciones son: $${\displaystyle P_{0}(0,\rho )=\ln \rho \,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,1\,}$$

Si k es un número real podemos escribir una solución real como: donde y son funciones de Bessel ordinarias . $${\displaystyle P_{n}(k,\rho )=J_{n}(k\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,Y_{n}(k\rho )\,}$$ ${\displaystyle J_{n}(z)}$ ${\displaystyle Y_{n}(z)}$

Si k es un número imaginario, podemos escribir una solución real como: donde y son funciones de Bessel modificadas . $${\displaystyle P_{n}(k,\rho )=I_{n}(|k|\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,K_{n}(|k|\rho )\,}$$ ${\displaystyle I_{n}(z)}$ ${\displaystyle K_{n}(z)}$

Los armónicos cilíndricos para (k,n) son ahora el producto de estas soluciones y la solución general de la ecuación de Laplace se da por una combinación lineal de estas soluciones: donde son constantes con respecto a las coordenadas cilíndricas y los límites de la suma y la integración están determinados por las condiciones de contorno del problema. Nótese que la integral puede ser reemplazada por una suma para las condiciones de contorno apropiadas. La ortogonalidad de es a menudo muy útil cuando se encuentra una solución a un problema particular. Las funciones y son esencialmente expansiones de Fourier o Laplace, y forman un conjunto de funciones ortogonales. Cuando es simplemente , la ortogonalidad de , junto con las relaciones de ortogonalidad de y permiten determinar las constantes. ^[1] $${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n}\int d\left|k\right|\,\,A_{n}(k)P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,}$$ ${\displaystyle A_{n}(k)}$ ${\displaystyle J_{n}(x)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(\varphi )}$ ${\displaystyle Z(k,z)}$ ${\displaystyle P_{n}(k\rho )}$ ${\displaystyle J_{n}(k\rho )}$ ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(\varphi )}$ ${\displaystyle Z(k,z)}$

Si es la secuencia de los ceros positivos de entonces: ^[2] ${\displaystyle (x)_{k}}$ ${\displaystyle J_{n}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}J_{n}(x_{k}\rho )J_{n}(x_{k}'\rho )\rho \,d\rho ={\frac {1}{2}}J_{n+1}(x_{k})^{2}\delta _{kk'}}$$

Al resolver problemas, el espacio se puede dividir en cualquier número de partes, siempre que los valores del potencial y su derivada coincidan a través de un límite que no contenga fuentes.

Ejemplo: Fuente puntual dentro de un tubo cilíndrico conductor

Como ejemplo, considere el problema de determinar el potencial de una fuente unitaria ubicada en el interior de un tubo cilíndrico conductor (por ejemplo, una lata vacía) que está limitada arriba y abajo por los planos y y en los lados por el cilindro . ^[3] (En unidades MKS, asumiremos ). Dado que el potencial está limitado por los planos en el eje z , la función Z(k,z) puede tomarse como periódica. Dado que el potencial debe ser cero en el origen, tomamos la función como la función de Bessel ordinaria , y debe elegirse de modo que uno de sus ceros caiga en el cilindro delimitador. Para el punto de medición debajo del punto de la fuente en el eje z , el potencial será: ${\displaystyle (\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})}$ ${\displaystyle z=-L}$ ${\displaystyle z=L}$ ${\displaystyle \rho =a}$ ${\displaystyle q/4\pi \epsilon _{0}=1}$ ${\displaystyle P_{n}(k\rho )}$ ${\displaystyle J_{n}(k\rho )}$

$${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L+z))\,\,\,\,\,z\leq z_{0}}$$donde es el r -ésimo cero de y, a partir de las relaciones de ortogonalidad para cada una de las funciones: ${\displaystyle k_{nr}a}$ ${\displaystyle J_{n}(z)}$ $${\displaystyle A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L-z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}\,}$$

Por encima del punto de origen: $${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L-z))\,\,\,\,\,z\geq z_{0}}$$ $${\displaystyle A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L+z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}.\,}$$

Es evidente que cuando o , la función anterior es cero. También se puede demostrar fácilmente que las dos funciones coinciden en valor y en el valor de sus primeras derivadas en . ${\displaystyle \rho =a}$ ${\displaystyle |z|=L}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$

Fuente puntual dentro del cilindro

Al eliminar los extremos del plano (es decir, tomar el límite cuando L se acerca al infinito) se obtiene el campo de la fuente puntual dentro de un cilindro conductor: $${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k_{nr}|z-z_{0}|}}$$ $${\displaystyle A_{nr}={\frac {2(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}.\,}$$

Fuente puntual en espacio abierto

A medida que el radio del cilindro ( a ) se acerca al infinito, la suma sobre los ceros de J _n ( z ) se convierte en una integral, y tenemos el campo de una fuente puntual en el espacio infinito: y R es la distancia desde la fuente puntual hasta el punto de medición: $${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{R}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }d\left|k\right|\,A_{n}(k)J_{n}(k\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k|z-z_{0}|}}$$ $${\displaystyle A_{n}(k)=(2-\delta _{n0})J_{n}(k\rho _{0})\,}$$ $${\displaystyle R={\sqrt {(z-z_{0})^{2}+\rho ^{2}+\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}.\,}$$

Fuente puntual en el espacio abierto en el origen

Finalmente, cuando la fuente puntual está en el origen, ${\displaystyle \rho _{0}=z_{0}=0}$ $${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}(k\rho )e^{-k|z|}\,dk.}$$

Véase también

• Armónicos esféricos

Notas

1. Smythe 1968, pág. 185.
2. Guillopé 2010.
3. Configuración y variables como en Smythe 1968

Referencias

• Smythe, William R. (1968). Electricidad estática y dinámica (3.ª ed.). McGraw-Hill .
• Guillope, Laurent (2010). "Espaces de Hilbert et fonctions spéciales" (PDF) (en francés).