Curva de llenado de espacio

Curva cuyo rango contiene el cuadrado unitario

Tres iteraciones de la construcción de la curva de Peano , cuyo límite es una curva que llena el espacio.

En análisis matemático , una curva de relleno de espacio es una curva cuyo rango alcanza cada punto en una región de dimensiones superiores, típicamente el cuadrado unitario (o más generalmente un hipercubo unitario de n dimensiones ). Debido a que Giuseppe Peano (1858-1932) fue el primero en descubrir una, las curvas que llenan el espacio en el plano bidimensional a veces se denominan curvas de Peano , pero esa frase también se refiere a la curva de Peano , el ejemplo específico de una curva que llena el espacio. encontrado por Peano.

Las curvas FASS estrechamente relacionadas (curvas aproximadamente de relleno de espacio, de autoevitación, simples y autosimilares) pueden considerarse como aproximaciones finitas de un cierto tipo de curvas de relleno de espacio. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

Definición

Intuitivamente, una curva en dos o tres (o más) dimensiones puede considerarse como la trayectoria de un punto en continuo movimiento. Para eliminar la vaguedad inherente a esta noción, Jordan introdujo en 1887 la siguiente definición rigurosa, que desde entonces ha sido adoptada como descripción precisa de la noción de curva :

Una curva (con puntos finales) es una función continua cuyo dominio es el intervalo unitario [0, 1] .

En la forma más general, el rango de dicha función puede estar en un espacio topológico arbitrario , pero en los casos más comúnmente estudiados, el rango estará en un espacio euclidiano como el plano bidimensional (una curva plana ) o el Espacio tridimensional ( curva espacial ).

A veces, la curva se identifica con la imagen de la función (el conjunto de todos los valores posibles de la función), en lugar de con la función en sí. También es posible definir curvas sin puntos finales para que sean una función continua en la línea real (o en el intervalo unitario abierto  (0, 1) ).

Historia

En 1890, Giuseppe Peano descubrió una curva continua, ahora llamada curva de Peano , que pasa por cada punto del cuadrado unitario. ^[7] Su propósito era construir un mapeo continuo desde el intervalo unitario al cuadrado unitario . Peano fue motivado por el resultado contraintuitivo anterior de Georg Cantor de que el número infinito de puntos en un intervalo unitario tiene la misma cardinalidad que el número infinito de puntos en cualquier variedad de dimensión finita , como el cuadrado unitario. El problema que resolvió Peano fue si tal mapeo podría ser continuo; es decir, una curva que llena un espacio. La solución de Peano no establece una correspondencia continua uno a uno entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario y, de hecho, tal correspondencia no existe (ver § Propiedades a continuación).

Era común asociar las vagas nociones de delgadez y unidimensionalidad con las curvas; todas las curvas encontradas normalmente eran diferenciables por partes (es decir, tenían derivadas continuas por partes), y tales curvas no pueden llenar todo el cuadrado unitario. Por lo tanto, se descubrió que la curva de llenado de espacio de Peano era muy contraria a la intuición.

A partir del ejemplo de Peano, fue fácil deducir curvas continuas cuyos rangos contenían el hipercubo de n dimensiones (para cualquier entero positivo n ). También fue fácil extender el ejemplo de Peano a curvas continuas sin puntos finales, que llenaban todo el espacio euclidiano de n dimensiones (donde n es 2, 3 o cualquier otro número entero positivo).

La mayoría de las curvas de relleno de espacio más conocidas se construyen de forma iterativa como el límite de una secuencia de curvas continuas lineales por tramos , cada una de las cuales se aproxima más al límite de relleno de espacio.

El innovador artículo de Peano no contenía ilustraciones de su construcción, que se define en términos de expansiones ternarias y un operador de espejo. Pero la construcción gráfica estaba perfectamente clara para él: hizo un mosaico ornamental que mostraba una imagen de la curva en su casa de Turín. El artículo de Peano también termina observando que la técnica puede evidentemente extenderse a otras bases impares además de la base 3. Su elección de evitar cualquier recurso a la visualización gráfica fue motivada por el deseo de una demostración completamente rigurosa que no dependa de imágenes. En ese momento (el comienzo de la fundación de la topología general), los argumentos gráficos todavía se incluían en las pruebas, pero se estaban convirtiendo en un obstáculo para la comprensión de resultados a menudo contrarios a la intuición.

Un año después, David Hilbert publicó en la misma revista una variación de la construcción de Peano. ^[8] El artículo de Hilbert fue el primero en incluir una imagen que ayuda a visualizar la técnica de construcción, esencialmente la misma que se ilustra aquí. La forma analítica de la curva de Hilbert , sin embargo, es más complicada que la de Peano.

Seis iteraciones de la construcción de la curva de Hilbert, cuya curva límite de relleno de espacio fue ideada por el matemático David Hilbert .

Esquema de la construcción de una curva de relleno de espacio.

Denotemos el espacio de Cantor . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$

Comenzamos con una función continua desde el espacio de Cantor sobre todo el intervalo unitario . (La restricción de la función de Cantor al conjunto de Cantor es un ejemplo de dicha función). A partir de ella, obtenemos una función continua del producto topológico en todo el cuadrado unitario estableciendo ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$

$${\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y)).\,}$$

Dado que el conjunto de Cantor es homeomorfo con respecto al producto , existe una biyección continua desde el conjunto de Cantor hacia . La composición de y es una función continua que mapea el conjunto de Cantor en todo el cuadrado unitario. (Alternativamente, podríamos usar el teorema de que todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor para obtener la función ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Finalmente, se puede extender a una función continua cuyo dominio es el intervalo unitario completo . Esto se puede hacer usando el teorema de extensión de Tietze en cada uno de los componentes de , o simplemente extendiendo "linealmente" (es decir, en cada uno de los intervalos abiertos eliminados en la construcción del conjunto de Cantor, definimos la parte de extensión de on es el segmento de línea dentro del cuadrado unitario que une los valores y ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,\,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (a,\,b)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$

Propiedades

Curvas de Morton y Hilbert de nivel 6 (4 ⁵ = 1024 celdas en la partición cuadrada recursiva ) que trazan cada dirección con un color diferente en el estándar RGB y utilizan etiquetas Geohash . Los barrios tienen colores similares, pero cada curva ofrece un patrón diferente de agrupación de similares en escalas más pequeñas.

Si una curva no es inyectiva, entonces se pueden encontrar dos subcurvas de la curva que se cruzan, cada una obtenida considerando las imágenes de dos segmentos disjuntos del dominio de la curva (el segmento de línea unitario). Las dos subcurvas se cruzan si la intersección de las dos imágenes no está vacía . Uno podría estar tentado a pensar que el significado de curvas que se cruzan es que necesariamente se cruzan entre sí, como el punto de intersección de dos líneas no paralelas, de un lado al otro. Sin embargo, dos curvas (o dos subcurvas de una curva) pueden contactarse sin cruzarse, como lo hace, por ejemplo, una línea tangente a un círculo.

Una curva continua que no se interseca a sí misma no puede llenar el cuadrado unitario porque eso hará que la curva sea un homeomorfismo del intervalo unitario al cuadrado unitario (cualquier biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo). Pero un cuadrado unitario no tiene punto de corte , por lo que no puede ser homeomorfo al intervalo unitario, en el que todos los puntos excepto los extremos son puntos de corte. Existen curvas de área distinta de cero que no se intersecan a sí mismas, las curvas de Osgood , pero según el teorema de Netto no llenan el espacio. ^[9]

Para las curvas clásicas de Peano y Hilbert que llenan el espacio, donde dos subcurvas se cruzan (en el sentido técnico), hay autocontacto sin autocruce. Una curva que llena el espacio puede autocruzarse (en todas partes) si sus curvas de aproximación se autocruzan. Las aproximaciones de una curva que llena el espacio pueden evitarse por sí solas, como lo ilustran las figuras anteriores. En 3 dimensiones, las curvas de aproximación que se evitan a sí mismas pueden incluso contener nudos . Las curvas de aproximación permanecen dentro de una porción limitada del espacio n -dimensional, pero sus longitudes aumentan sin límite.

Las curvas que llenan el espacio son casos especiales de curvas fractales . No puede existir una curva de llenado de espacio diferenciable. En términos generales, la diferenciabilidad pone un límite a la rapidez con la que puede girar la curva. Michał Morayne demostró que la hipótesis del continuo es equivalente a la existencia de una curva de Peano tal que en cada punto de una recta real al menos uno de sus componentes es diferenciable. ^[10]

El teorema de Hahn-Mazurkiewicz

El teorema de Hahn - Mazurkiewicz es la siguiente caracterización de espacios que son imagen continua de curvas:

Un espacio topológico de Hausdorff no vacío es una imagen continua del intervalo unitario si y solo si es un espacio compacto, conexo , localmente conectado y contable en segundos .

Los espacios que son la imagen continua de un intervalo unitario a veces se denominan espacios de Peano .

En muchas formulaciones del teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el segundo contable se reemplaza por metrizable . Estas dos formulaciones son equivalentes. En una dirección, un espacio compacto de Hausdorff es un espacio normal y, según el teorema de metrización de Urysohn , segundo contable implica metrizable. Por el contrario, un espacio métrico compacto es contable en segundos.

Grupos kleinianos

Hay muchos ejemplos naturales de curvas que llenan el espacio, o más bien que llenan la esfera, en la teoría de los grupos kleinianos doblemente degenerados . Por ejemplo, Cannon y Thurston (2007) demostraron que el círculo en el infinito de la cubierta universal de una fibra de un toro cartográfico de un mapa pseudo-Anosov es una curva de relleno de esfera. (Aquí la esfera es la esfera en el infinito del espacio 3 hiperbólico ).

Integración

Wiener señaló en La integral de Fourier y algunas de sus aplicaciones que las curvas de relleno de espacio podrían usarse para reducir la integración de Lebesgue en dimensiones superiores a la integración de Lebesgue en una dimensión.

Ver también

• curva del dragón
• curva de chismorreo
• curva de Hilbert
• curva de Koch
• curva de Moore
• Polígono de Murray
• Curva de Sierpiński
• Árbol que llena el espacio
• índice espacial
• Hilbert R-árbol
• B ^x -árbol
• Orden Z (curva) (orden de Morton)
• Mapa de Cannon-Thurston
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

Notas

1. Przemyslaw Prusinkiewicz y Aristid Lindenmayer. "La belleza algorítmica de las plantas". 2012. pág. 12
2. Jeffrey Ventrella. "Curvas de relleno cerebral: un bestiario fractal". 2011. pág. 43
3. Marcia Ascher. "Matemáticas en otros lugares: una exploración de ideas entre culturas". 2018. pág. 179.
4. "Fractales en las ciencias fundamentales y aplicadas". 1991. pág. 341-343.
5. Przemyslaw Prusinkiewicz; Aristid Lindenmayer; F. David Fracchia. "Síntesis de curvas que llenan el espacio en la cuadrícula". 1989.
6. "Curva FASS". D. Frettlöh, E. Harriss, F. Gähler: Enciclopedia de mosaicos, https://tilings.math.uni-bielefeld.de/
7. Peano 1890.
8. Hilbert 1891.
9. Sagan 1994, pag. 131.
10. Morayne, Michał (1987). "Sobre la diferenciabilidad de funciones tipo Peano". Coloquio Mathematicum . 53 (1): 129-132. doi : 10.4064/cm-53-1-129-132 . ISSN  0010-1354.

Referencias

• Cañón, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], "Curvas de Peano invariantes de grupo", Geometría y topología , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060, SEÑOR  2326947
• Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück", Mathematische Annalen (en alemán), 38 (3): 459–460, doi :10.1007/BF01199431, S2CID  123643081
• Mandelbrot, BB (1982), "Cap. 7: Aprovechando las curvas del monstruo de Peano", La geometría fractal de la naturaleza , WH Freeman.
• McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies y Frenzies: familias básicas de curvas de Peano en la cuadrícula cuadrada", en Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (eds.), El lado más ligero de las matemáticas: actas de la conferencia en memoria de Eugene Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, Asociación Matemática de América , págs. 49–73, ISBN 978-0-88385-516-4.
• Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane", Mathematische Annalen (en francés), 36 (1): 157–160, doi :10.1007/BF01199438, S2CID  179177780.
• Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio , Universitext, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, señor  1299533.

enlaces externos

• Curvas multidimensionales que llenan el espacio
• Prueba de la existencia de una biyección al cortar el nudo

Subprogramas de Java:

• Curvas de relleno del plano de Peano en Cut-The-Knot
• Curvas de relleno del plano de Hilbert y Moore en el corte del nudo
• Todas las curvas de relleno del plano de Peano en cut-the-knot