Producto cruzado

En matemáticas , un producto cruzado es un método básico para construir una nueva álgebra de von Neumann a partir de un álgebra de von Neumann sobre la que actúa un grupo . Está relacionado con la construcción de productos semidirectos para grupos. (En términos generales, el producto cruzado es la estructura esperada para un anillo de grupo de un grupo de productos semidirectos. Por lo tanto, los productos cruzados también tienen un aspecto de teoría de anillos . Este artículo se concentra en un caso importante, donde aparecen en el análisis funcional ).

Motivación

Recordemos que si tenemos dos grupos finitos y N con una acción de G sobre N podemos formar el producto semidirecto . Este contiene a N como subgrupo normal , y la acción de G sobre N está dada por conjugación en el producto semidirecto. Podemos reemplazar N por su álgebra de grupo compleja C [ N ], y nuevamente formar un producto de manera similar; esta álgebra es una suma de subespacios gC [ N ] cuando g pasa por los elementos de G , y es el álgebra de grupo de . Podemos generalizar aún más esta construcción reemplazando C [ N ] por cualquier álgebra A sobre la que actúe G para obtener un producto cruzado , que es la suma de subespacios gA y donde la acción de G sobre A está dada por conjugación en el producto cruzado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\rtimes G}$ ${\displaystyle C[N]\rtimes G}$ ${\displaystyle N\rtimes G}$ ${\displaystyle A\rtimes G}$

El producto cruzado de un álgebra de von Neumann por un grupo G que actúa sobre ella es similar, excepto que debemos ser más cuidadosos con las topologías y necesitamos construir un espacio de Hilbert sobre el que actúa el producto cruzado. (Tenga en cuenta que el producto cruzado del álgebra de von Neumann suele ser mayor que el producto cruzado algebraico analizado anteriormente; de ​​hecho, es una especie de compleción del producto cruzado algebraico).

En física, esta estructura aparece en presencia del llamado grupo de calibración de primer tipo. G es el grupo de calibración y N el álgebra de "campo". Los observables se definen entonces como los puntos fijos de N bajo la acción de G. Un resultado de Doplicher, Haag y Roberts dice que bajo ciertas suposiciones el producto cruzado puede recuperarse a partir del álgebra de observables.

Construcción

Supongamos que A es un álgebra de von Neumann de operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert H y G es un grupo discreto que actúa sobre A . Sea K el espacio de Hilbert de todas las funciones cuadradas sumables de valor H sobre G . Existe una acción de A sobre K dada por

• a(k)(g) = g ⁻¹ (a)k(g)

para k en K , g , h en G y a en A , y hay una acción de G sobre K dada por

• g(k)(h) = k(g ⁻¹ h).

El producto cruzado es el álgebra de von Neumann que actúa sobre K generada por las acciones de A y G sobre K . No depende (salvo isomorfismo) de la elección del espacio de Hilbert H . ${\displaystyle A\rtimes G}$

Esta construcción se puede extender para que funcione para cualquier grupo localmente compacto G que actúe sobre cualquier álgebra de von Neumann A . Cuando es un álgebra de von Neumann abeliana , esta es la construcción original del espacio de medida de grupo de Murray y von Neumann . ${\displaystyle A}$

Propiedades

Sea G un grupo discreto numerable infinito que actúa sobre el álgebra abeliana de von Neumann A . La acción se llama libre si A no tiene proyecciones p distintas de cero tales que algún g no trivial fija todos los elementos de pAp . La acción se llama ergódica si las únicas proyecciones invariantes son 0 y 1. Por lo general, A puede identificarse como el álgebra abeliana de von Neumann de funciones esencialmente acotadas en un espacio de medida X sobre el que actúa G , y entonces la acción de G sobre X es ergódica (para cualquier subconjunto invariante medible, ya sea el subconjunto o su complemento tiene medida 0) si y solo si la acción de G sobre A es ergódica. ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$

Si la acción de G sobre A es libre y ergódica, entonces el producto cruzado es un factor. Además: ${\displaystyle A\rtimes G}$

• El factor es de tipo I si A tiene una proyección mínima tal que 1 es la suma de los G conjugados de esta proyección. Esto corresponde a que la acción de G sobre X es transitiva. Ejemplo: X son los números enteros y G es el grupo de números enteros que actúan por traslaciones.
• El factor tiene tipo II ₁ si A tiene una traza normal finita fiel e invariante en G. Esto corresponde a que X tiene una medida invariante en G finita , absolutamente continua con respecto a la medida en X. Ejemplo: X es el círculo unitario en el plano complejo y G es el grupo de todas las raíces de la unidad.
• El factor tiene tipo II _∞ si no es de tipo I o II ₁ y tiene una traza fiel semifinita normal G -invariante. Esto corresponde a que X tiene una medida G invariante infinita sin átomos, absolutamente continua respecto de la medida en X . Ejemplo: X es la recta real, y G es el grupo de racionales que actúan por traslaciones.
• El factor es de tipo III si A no tiene traza G -invariante normal semifinita fiel . Esto corresponde a que X no tiene medida G -invariante absolutamente continua distinta de cero . Ejemplo: X es la recta real y G es el grupo de todas las transformaciones ax + b para a y b racionales, a distinto de cero.

En particular, se pueden construir ejemplos de todos los diferentes tipos de factores como productos cruzados.

Dualidad

Si es un álgebra de von Neumann sobre la que actúa un abeliano localmente compacto , entonces , el grupo dual de caracteres de , actúa por unitarios sobre  : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle (\chi \cdot k)(h)=\chi (h)k(h)}$

Estos unitarios normalizan el producto cruzado, definiendo la acción dual de . Junto con el producto cruzado, generan , que puede identificarse con el producto cruzado iterado por la acción dual . Bajo esta identificación, la doble acción dual de (el grupo dual de ) corresponde al producto tensorial de la acción original sobre y conjugada por los siguientes unitarios sobre  : ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A\otimes B(L^{2}(G))}$ ${\displaystyle (A\rtimes G)\rtimes \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

• ${\displaystyle (g\cdot f)(h)=f(hg)}$

El producto cruzado puede identificarse con el álgebra de punto fijo de la acción dual doble. De manera más general, es el álgebra de punto fijo de en el producto cruzado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Se cumplen afirmaciones similares cuando se reemplaza por un grupo localmente compacto no abeliano o, de manera más general, un grupo cuántico localmente compacto , una clase de álgebra de Hopf relacionada con las álgebras de von Neumann . También se ha desarrollado una teoría análoga para acciones sobre álgebras C* y sus productos cruzados. ${\displaystyle G}$

La dualidad apareció por primera vez para las acciones de los números reales en el trabajo de Connes y Takesaki sobre la clasificación de los factores de Tipo III . Según la teoría de Tomita-Takesaki , cada vector que es cíclico para el factor y su conmutante da lugar a un grupo de automorfismos modulares de 1 parámetro . El producto cruzado correspondiente es un álgebra de von Neumann de tipo y la acción dual correspondiente se restringe a una acción ergódica de los números reales en su centro, un álgebra de von Neumann abeliana . Este flujo ergódico se llama flujo de pesos ; es independiente de la elección del vector cíclico. El espectro de Connes , un subgrupo cerrado de los números reales positivos , se obtiene aplicando la exponencial al núcleo de este flujo. ${\displaystyle II_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

• Cuando el núcleo es la totalidad de , el factor es de tipo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle III_{1}}$
• Cuando el kernel es para (0,1), el factor es de tipo . ${\displaystyle (\log \lambda )Z}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle III_{\lambda }}$
• Cuando el núcleo es trivial, el factor es de tipo . ${\displaystyle III_{0}}$

Connes y Haagerup demostraron que el espectro de Connes y el flujo de pesos son invariantes completos de los factores hiperfinitos de tipo III . A partir de esta clasificación y de los resultados de la teoría ergódica , se sabe que todo factor hiperfinito de dimensión infinita tiene la forma para alguna acción ergódica libre de . ${\displaystyle L^{\infty }(X)\rtimes Z}$ ${\displaystyle Z}$

Ejemplos

• Si tomamos como números complejos, entonces el producto cruzado se llama álgebra del grupo de von Neumann de G. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\rtimes G}$
• Si es un grupo discreto infinito tal que cada clase de conjugación tiene orden infinito, entonces el álgebra de grupos de von Neumann es un factor de tipo II ₁ . Además, si cada conjunto finito de elementos de genera un subgrupo finito (o más generalmente si G es susceptible), entonces el factor es el factor hiperfinito de tipo II ₁ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Véase también

• Álgebra de productos cruzados

Referencias

• Takesaki, Masamichi (2002), Teoría de las álgebras de operadores I, II, III , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42248-8, ISBN 3-540-42914-X (II), ISBN 3-540-42913-1 (III)  
• Connes, Alain (1994), Geometría no conmutativa , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
• Pedersen, Gert Kjaergard (1979), C*-álgebras y sus grupos de automorfismos , London Math. Soc. Monographs, vol. 14, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-549450-2