Teorema de Crocco

Teorema aerodinámico

El teorema de Crocco es un teorema aerodinámico que relaciona la velocidad de flujo , la vorticidad y la presión de estancamiento (o entropía ) de un flujo potencial . El teorema de Crocco establece la relación entre la termodinámica y la cinemática de fluidos. El teorema fue enunciado por primera vez por Alexander Friedmann para el caso particular de un gas perfecto y publicado en 1922: ^[1]

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h}$

Sin embargo, normalmente este teorema se relaciona con el nombre del científico italiano Luigi Crocco, ^[2] hijo de Gaetano Crocco .

Consideremos un elemento de fluido en el campo de flujo sometido a movimiento traslacional y rotacional: debido a que la pérdida de presión por estancamiento y la generación de entropía pueden verse como esencialmente la misma cosa, existen tres formas populares de escribir el teorema de Crocco:

1. Presión de estancamiento: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}=v\nabla p_{0}}$
2. Entropía (la siguiente forma es válida para flujos planos estacionarios): ^[4] ${\displaystyle T{\frac {ds}{dn}}={\frac {dh_{0}}{dn}}+u\omega }$
3. Impulso: ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {u^{2}}{2}}+h\right)=\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}+T\nabla s+\mathbf {g} ,}$

En las ecuaciones anteriores, es el vector de velocidad de flujo, es la vorticidad, es el volumen específico, es la presión de estancamiento , es la temperatura , es la entropía específica , es la entalpía específica , es la fuerza corporal específica y es la dirección normal a las líneas de corriente. Todas las cantidades consideradas (entropía, entalpía y fuerza corporal) son específicas , en el sentido de "por unidad de masa". ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Friedmann A. Un ensayo sobre hidrodinámica de fluidos compresibles (Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости), Petrogrado , 1922, 516 p., reimpreso Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine en 1934 bajo la dirección de Nikolai Kochin (ver la primera fórmula en la página 198 de la reimpresión).
2. Crocco L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. ZAMM , vol. 17, número 1, págs. 1 a 7, 1937. DOI: 10.1002/zamm.19370170103. Crocco escribe el teorema en la forma de gas perfecto (la última fórmula en la página 2). ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {rot} \,\mathbf {u} \times \mathbf {u} =T\mathrm {grad} \,S}$
3. Shapiro, Ascher H. "Notas sobre la película 'Vorticity' del Comité Nacional de Mecánica de Fluidos", 1969. Encyclopædia Britannica Educational Corporation, Chicago, Illinois. (Recuperado de http://web.mit.edu/hml/ncfmf/09VOR.pdf (29/5/11)
4. Liepmann, HW y Roshko, A. "Elementos de la dinámica de gases" 2001. Dover Publications, Mineola, NY (ecuación (7.33)).