Criterio de fluencia en pendiente

El criterio de fluencia de Hill desarrollado por Rodney Hill es uno de los varios criterios de fluencia para describir deformaciones plásticas anisotrópicas. La primera versión fue una extensión directa del criterio de fluencia de von Mises y tenía una forma cuadrática. Este modelo se generalizó posteriormente al permitir un exponente m . Las variaciones de estos criterios se utilizan ampliamente para metales, polímeros y ciertos compuestos.

Criterio de fluencia de Hill cuadrático

El criterio de rendimiento de Hill cuadrático ^[1] tiene la forma

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}=1~.}$

Aquí F, G, H, L, M, N son constantes que deben determinarse experimentalmente y son las tensiones. El criterio de fluencia de Hill cuadrático depende únicamente de las tensiones desviatorias y es independiente de la presión. Predice la misma tensión de fluencia en tracción y en compresión. ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

Expresiones paraF,GRAMO,yo,yo,METRO,norte

Si se supone que los ejes de anisotropía del material son ortogonales, podemos escribir

${\displaystyle (G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~(\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1}$

donde son las tensiones de fluencia normales con respecto a los ejes de anisotropía. Por lo tanto tenemos ${\displaystyle \sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}}$

${\displaystyle F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]}$

${\displaystyle H={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]}$

De manera similar, si son las tensiones de fluencia en corte (con respecto a los ejes de anisotropía), tenemos ${\displaystyle \tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}}$

${\displaystyle L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y})^{2}}}}$

Criterio de fluencia de Hill cuadrático para tensión plana

El criterio de fluencia cuadrático de Hill para placas laminadas delgadas (condiciones de tensión plana) se puede expresar como

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

donde se supone que las tensiones principales están alineadas con los ejes de anisotropía en la dirección de laminación y perpendiculares a la dirección de laminación, , es el valor R en la dirección de laminación, y es el valor R perpendicular a la dirección de laminación. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{90}}$

Para el caso especial de isotropía transversal tenemos y obtenemos ${\displaystyle R=R_{0}=R_{90}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}}$

Criterio de rendimiento generalizado de Hill

El criterio de rendimiento de Hill generalizado ^[2] tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}}$

donde son las tensiones principales (que están alineadas con las direcciones de anisotropía), es la tensión de fluencia, y F, G, H, L, M, N son constantes. El valor de m está determinado por el grado de anisotropía del material y debe ser mayor que 1 para asegurar la convexidad de la superficie de fluencia. ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Criterio generalizado de fluencia de Hill para material anisotrópico

Para materiales transversalmente isótropos con siendo el plano de simetría, el criterio de fluencia de Hill generalizado se reduce a (con y ) ${\displaystyle 1-2}$ ${\displaystyle F=G}$ ${\displaystyle L=M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}}$

El valor R o coeficiente de Lankford se puede determinar considerando la situación en la que . El valor R se da entonces por ${\displaystyle \sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3}=0)}$

${\displaystyle R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.}$

En condiciones de tensión plana y con algunos supuestos, el criterio de Hill generalizado puede adoptar varias formas. ^[3]

• Caso 1: ${\displaystyle L=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Caso 2: ${\displaystyle N=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Caso 3: ${\displaystyle N=0,H=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|\sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Caso 4: ${\displaystyle L=0,F=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{\cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

• Caso 5: . Este es el criterio de rendimiento de Hosford . ${\displaystyle L=0,N=0.}$

${\displaystyle f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0}$

Se debe tener cuidado al utilizar estas formas del criterio de fluencia de Hill generalizado porque las superficies de fluencia se vuelven cóncavas (a veces incluso ilimitadas) para ciertas combinaciones de y . ^[4] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$

Criterio de rendimiento de Hill 1993

En 1993, Hill propuso otro criterio de fluencia ^[5] para problemas de tensión plana con anisotropía planar. El criterio de Hill93 tiene la forma

${\displaystyle \left({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90}}}\right)^{2}+\left[(p+q-c)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1}$

donde es la tensión de fluencia por tracción uniaxial en la dirección de laminación, es la tensión de fluencia por tracción uniaxial en la dirección normal a la dirección de laminación, es la tensión de fluencia bajo tensión biaxial uniforme, y son parámetros definidos como ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{90}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle c,p,q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{\cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{90}}}\end{aligned}}}$

y es el valor R para la tensión uniaxial en la dirección de laminación, y es el valor R para la tensión uniaxial en la dirección en el plano perpendicular a la dirección de laminación. ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{90}}$

Extensiones del criterio de rendimiento de Hill

Las versiones originales del criterio de fluencia de Hill fueron diseñadas para materiales que no tenían superficies de fluencia dependientes de la presión que se necesitan para modelar polímeros y espumas .

El criterio de fluencia Caddell–Raghava–Atkins

Una extensión que permite la dependencia de la presión es el modelo Caddell-Raghava-Atkins (CRA) ^[6] que tiene la forma

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.}$

El criterio de rendimiento de Deshpande–Fleck–Ashby

Otra extensión dependiente de la presión del criterio de fluencia cuadrática de Hill que tiene una forma similar al criterio de fluencia de Bresler Pister es el criterio de fluencia de Deshpande, Fleck y Ashby (DFA) ^[7] para estructuras de panal (utilizadas en la construcción de compuestos tipo sándwich ). Este criterio de fluencia tiene la forma

${\displaystyle F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.}$

Véase también

• Criterio de fluencia de Logan-Hosford para plasticidad anisotrópica

Referencias

1. R. Hill. (1948). Una teoría de la fluencia y el flujo plástico de metales anisotrópicos. Proc. Roy. Soc. Londres, 193:281–297
2. R. Hill. (1979). Plasticidad teórica de agregados texturizados. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 85(1):179–191.
3. Chu, E. (1995). Generalización de los criterios de rendimiento anisotrópico de Hill de 1979. Journal of Materials Processing Technology, vol. 50, págs. 207–215.
4. Zhu, Y., Dodd, B., Caddell, RM y Hosford, WF (1987). Limitaciones del criterio de rendimiento anisotrópico de Hill de 1979. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 29, pág. 733.
5. Hill. R. (1993). Teoría de plasticidad ortotrópica en láminas metálicas, fácil de usar. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 35, núm. 1, págs. 19-25.
6. Caddell, RM, Raghava, RS y Atkins, AG, (1973), Criterio de rendimiento para sólidos anisotrópicos y dependientes de la presión, como los polímeros orientados. Journal of Materials Science, vol. 8, núm. 11, págs. 1641–1646.
7. Deshpande, VS, Fleck, NA y Ashby, MF (2001). Propiedades efectivas del material de celosía de celosía octet. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 49, núm. 8, págs. 1747–1769.

Enlaces externos

• Criterios de rendimiento para el aluminio