En álgebra, el criterio de normalidad de Serre , introducido por Jean-Pierre Serre , da las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo noetheriano conmutativo A sea un anillo normal . El criterio implica las dos condiciones siguientes para A :
es un anillo local regular para cualquier ideal primo de altura ≤ k .![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cualquier ideal primo . [1]![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La declaración es:
- A es una sujeción de anillo reducida .
![{\ Displaystyle \ Leftrightarrow R_ {0}, S_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- A es una retención de anillo normal .
![{\ Displaystyle \ Leftrightarrow R_ {1}, S_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- A es un anillo de Cohen-Macaulay para todo k .
![{\displaystyle \Leftrightarrow S_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los puntos 1, 3 se derivan trivialmente de las definiciones. El punto 2 es mucho más profundo.
Para un dominio integral, el criterio se debe a Krull. El caso general se debe a Serre.
Prueba
Suficiencia
(Después de EGA IV 2. Teorema 5.8.6.)
Supongamos que A satisface S 2 y R 1 . Entonces A en particular satisface S 1 y R 0 ; por tanto, se reduce. Si son los ideales primos mínimos de A , entonces el anillo total de fracciones K de A es el producto directo de los campos de residuos : ver anillo total de fracciones de un anillo reducido . Eso significa que podemos escribir dónde están los idempotentes y tal que . Ahora bien, si A es integralmente cerrado en K , entonces cada uno es integral sobre A y también lo es en A ; en consecuencia, A es un producto directo de dominios integralmente cerrados Ae i y listo. Por tanto, basta con demostrar que A es integralmente cerrado en K .
![{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}_{i})=Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1=e_{1}+\dots +e_{r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle e_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}_{i})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{i}e_{j}=0,\,i\neq j}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle e_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para este fin, supongamos
![{\displaystyle (f/g)^{n}+a_{1}(f/g)^{n-1}+\dots +a_{n}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde todos f , g , a i están en A y g es además un divisor distinto de cero. Queremos mostrar:
.
Ahora, la condición S 2 dice que es puro de altura uno; es decir, cada primo asociado tiene altura uno. Esto se debe a que si tiene una altura mayor que uno, contendrá un divisor distinto de cero . Sin embargo, está asociado al ideal cero por lo que solo puede contener divisores cero, ver aquí. Por la condición R 1 , la localización es integralmente cerrada y entonces , ¿dónde está el mapa de localización, ya que la ecuación integral persiste después de la localización? Si es la descomposición primaria , entonces, para cualquier i , el radical de es un primo asociado de y así ; la igualdad aquí se debe a que es un ideal primario . Por tanto, la afirmación es válida.
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A/gA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A/gA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A/gA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi (f)\in \phi (g)A_{\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi :A\to A_{\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle gA=\cap _{i}{\mathfrak {q}}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A/gA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\in \phi ^{-1}({\mathfrak {q}}_{i}A_{\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Necesidad
Supongamos que A es un anillo normal . Para S 2 , sea un primo asociado de para un divisor f distinto de cero ; Necesitamos mostrar que tiene altura uno. Reemplazando A por una localización, podemos asumir que A es un anillo local con ideal máximo . Por definición, hay un elemento g en A tal que y . Pon y = g / f en el anillo total de fracciones. Si , entonces es un módulo fiel y es un módulo A generado finitamente ; en consecuencia, es integral sobre A y por tanto en A , una contradicción. Por lo tanto, o , lo que implica que tiene altura uno ( teorema ideal principal de Krull ).![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A/fA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}=\{x\in A|xg\equiv 0{\text{ mod }}fA\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g\not \en fA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A[y]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y{\mathfrak {p}}=A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}=f/gA}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para R 1 , argumentamos de la misma manera: sea un ideal primo de altura uno. Localizar en suponemos que es un ideal máximo y un argumento similar al anterior muestra que, de hecho, es principal. Por tanto, A es un anillo local regular.![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \cuadrado }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notas
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1961, § 5.7.
Referencias