Grupo de Cremona

En geometría algebraica , el grupo de Cremona , introducido por Cremona  (1863, 1865), es el grupo de automorfismos biracionales del espacio proyectivo -dimensional sobre un cuerpo . Se denota por o o . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))}$ ${\displaystyle Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))}$ ${\displaystyle Cr_{n}(k)}$

El grupo de Cremona se identifica naturalmente con el grupo de automorfismos del campo de las funciones racionales en indeterminadas sobre , o en otras palabras una extensión trascendental pura de , con grado de trascendencia . ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

El grupo lineal general proyectivo de orden , de transformaciones proyectivas , está contenido en el grupo de Cremona de orden . Los dos son iguales solo cuando o , en cuyo caso tanto el numerador como el denominador de una transformación deben ser lineales. ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$

El grupo de Cremona en 2 dimensiones

En dos dimensiones, Max Noether y Guido Castelnuovo demostraron que el grupo complejo de Cremona se genera mediante la transformación cuadrática estándar, junto con , aunque hubo cierta controversia sobre si sus demostraciones eran correctas, y Gizatullin (1983) proporcionó un conjunto completo de relaciones para estos generadores. La estructura de este grupo aún no se comprende bien, aunque se ha trabajado mucho en la búsqueda de elementos o subgrupos del mismo. ${\displaystyle \mathrm {PGL} (3,k)}$

• Cantat y Lamy (2010) demostraron que el grupo de Cremona no es simple como un grupo abstracto;
• Blanc demostró que no tiene subgrupos normales no triviales que también estén cerrados en una topología natural.
• Para los subgrupos finitos del grupo de Cremona, véase Dolgachev e Iskovskikh (2009).

El grupo de Cremona en dimensiones superiores

Se sabe poco sobre la estructura del grupo de Cremona en tres dimensiones y superiores, aunque se han descrito muchos de sus elementos. Blanc (2010) demostró que está (linealmente) conectado, respondiendo a una pregunta de Serre (2010). No existe un análogo fácil del teorema de Noether-Castelnouvo, ya que Hudson (1927) demostró que el grupo de Cremona en dimensión al menos 3 no está generado por sus elementos de grado acotado por ningún entero fijo.

Grupos de Jonquières

Un grupo de De Jonquières es un subgrupo de un grupo de Cremona de la siguiente forma ^{[ cita requerida ]} . Elija una base de trascendencia para una extensión de cuerpo de . Entonces un grupo de De Jonquières es el subgrupo de automorfismos de que mapean el subcuerpo en sí mismo para algún . Tiene un subgrupo normal dado por el grupo de Cremona de automorfismos de sobre el cuerpo , y el grupo cociente es el grupo de Cremona de sobre el cuerpo . También puede considerarse como el grupo de automorfismos biracionales del fibrado de fibras . ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ ${\displaystyle r\leq n}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}}$

Cuando y el grupo de De Jonquières es el grupo de transformaciones de Cremona que fija un lápiz de líneas a través de un punto dado, y es el producto semidirecto de y . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k(t))}$

Referencias

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• Blanc, Jérémy (2010), "Groupes de Cremona, connexité et simplicité", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 43 (2): 357–364, arXiv : 0903.2489 , doi : 10.24033/asens.2123 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  2662668
• Cantat, Serge; Lamy, Stéphane (2010). "Subgrupos normales en el grupo de Cremona". Acta Mathematica . 210 (2013): 31–94. arXiv : 1007.0895 . Código Bibliográfico :2010arXiv1007.0895C. doi :10.1007/s11511-013-0090-1. S2CID  55261367.
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• Cremona, L. (1863), "Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane (nota 1)", Giornale di Matematiche di Battaglini , 1 : 305–311
• Cremona, L. (1865), "Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane (nota 2)", Giornale di Matematiche di Battaglini , 3 : 269–280, 363–376
• Demazure, Michel (1970), "Sous-groupes algébriques de rang maxime du groupe de Cremona", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 3 (4): 507–588, doi : 10.24033/asens.1201 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0284446
• Dolgachev, Igor V. (2012), Geometría algebraica clásica: una visión moderna (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8, archivado desde el original (PDF) el 11 de marzo de 2012 , consultado el 18 de abril de 2012
• Dolgachev, Igor V.; Iskovskikh, Vasily A. (2009), "Subgrupos finitos del grupo plano de Cremona", Álgebra, aritmética y geometría: en honor a Yu. I. Manin. Vol. I , Progr. Math., vol. 269, Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 443–548, arXiv : math/0610595 , doi :10.1007/978-0-8176-4745-2_11, ISBN 978-0-8176-4744-5, MR  2641179, S2CID  2188718
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• Godeaux, Lucien (1927), Les transformaciones birationelles du plan , Mémorial des sciences mathématiques, vol. 22, Gauthier-Villars et Cie, JFM  53.0595.02
• "Grupo de Cremona", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Transformación de Cremona", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hudson, Hilda Phoebe (1927), Transformaciones de Cremona en el plano y el espacio, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35882-8Reimpreso en 2012
• Semple, JG; Roth, L. (1985), Introducción a la geometría algebraica , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4, Sr.  0814690
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• Serre, Jean-Pierre (2010), "Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis" (PDF) , Astérisque , Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4, ISSN  0303-1179  , MR2648675