Convexidad (geometría algebraica)

En geometría algebraica , la convexidad es una condición técnica restrictiva para las variedades algebraicas introducidas originalmente para analizar los espacios de módulos de Kontsevich en la cohomología cuántica . ^{[1] : §1  [2] [3] Estos espacios de módulos son} orbifolds suaves siempre que el espacio objetivo sea convexo. Una variedad se llama convexa si el retroceso del fibrado tangente a una curva racional estable tiene secciones generadas globalmente. ^[2] Geométricamente, esto implica que la curva es libre de moverse infinitesimalmente sin ninguna obstrucción. La convexidad generalmente se expresa como la condición técnica ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{1}(C,f^{*}T_{X})=0}$

ya que el teorema de desaparición de Serre garantiza que este haz tiene secciones generadas globalmente. Intuitivamente, esto significa que en un entorno de un punto, con un campo vectorial en ese entorno, el transporte paralelo local puede extenderse globalmente. Esto generaliza la idea de convexidad en la geometría euclidiana , donde dados dos puntos en un conjunto convexo , todos los puntos están contenidos en ese conjunto. Hay un campo vectorial en un entorno de que transporta a cada punto . Dado que el fibrado vectorial de es trivial, por lo tanto, generado globalmente, hay un campo vectorial en tal que la igualdad se cumple en la restricción. ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle tp+(1-t)q}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{U_{p}}}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'\in \{tp+(1-t)q:t\in [0,1]\}\cap U_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}|_{U_{p}}={\mathcal {X}}_{U_{p}}}$

Ejemplos

Hay muchos ejemplos de espacios convexos, incluidos los siguientes.

Espacios con curvas racionales triviales

Si los únicos mapas de una curva racional a son mapas constantes, entonces el pullback del haz tangente es el haz libre donde . Estos haces tienen cohomología trivial distinta de cero y, por lo tanto, siempre son convexos. En particular, las variedades abelianas tienen esta propiedad ya que la variedad albanesa de una curva racional es trivial y cada mapa de una variedad a una variedad abeliana se factoriza a través de la albanesa. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus n}}$ ${\displaystyle n=\dim(X)}$ ${\displaystyle C}$

Espacios proyectivos

Los espacios proyectivos son ejemplos de espacios homogéneos, pero su convexidad también se puede demostrar mediante un cálculo de cohomología de haces. Recordemos que la sucesión de Euler relaciona el espacio tangente a través de una sucesión exacta corta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

Si solo necesitamos considerar incrustaciones de grados, hay una secuencia exacta corta ${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{C}\to {\mathcal {O}}_{C}(d)^{\oplus (n+1)}\to f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

dando la secuencia larga exacta

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(C,{\mathcal {O}})\to H^{0}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{0}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\\&\to H^{1}(C,{\mathcal {O}})\to H^{1}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{1}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\to 0\end{aligned}}}$

como los dos primeros términos son cero, lo que se deduce de ser de género , y el segundo cálculo se deduce del teorema de Riemann-Roch , tenemos convexidad de . Entonces, cualquier mapa nodal puede reducirse a este caso considerando uno de los componentes de . ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C}$

Espacios homogéneos

Otra gran clase de ejemplos son los espacios homogéneos donde es un subgrupo parabólico de . Estos tienen secciones generadas globalmente ya que actúa transitivamente sobre , lo que significa que puede tomar una base en a una base en cualquier otro punto , por lo tanto tiene secciones generadas globalmente. ^[3] Entonces, el pullback siempre se genera globalmente. Esta clase de ejemplos incluye Grassmannianos , espacios proyectivos y variedades de banderas . ${\displaystyle G/P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{x}X}$ ${\displaystyle T_{y}X}$

Espacios de productos

Además, los productos de espacios convexos siguen siendo convexos, como se desprende del teorema de Künneth en cohomología de haces coherentes.

Fibras proyectivas sobre curvas

Otra clase no trivial de ejemplos de variedades convexas son los fibrados proyectivos para un fibrado vectorial algebraico sobre una curva algebraica suave ^{[3] pág. 6} . ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\to C}$

Aplicaciones

Existen muchas ventajas técnicas útiles al considerar espacios de módulos de curvas estables que se asignan a espacios convexos. Es decir, los espacios de módulos de Kontsevich tienen buenas propiedades geométricas y teóricas de deformación. ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$

Teoría de la deformación

Las deformaciones de en el esquema de Hilbert de grafos tienen espacio tangente ${\displaystyle f:C\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (C,X)\subset \operatorname {Hilb} _{C\times X/\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}}$

${\displaystyle T_{\operatorname {Hom} (C,X)}([f])\cong H^{0}(C,f^{*}T_{X})}$  ^[1]

donde es el punto en el esquema que representa el mapa. La convexidad de da la fórmula de dimensión que se muestra a continuación. Además, la convexidad implica que todas las deformaciones infinitesimales no tienen obstrucciones. ^[5] ${\displaystyle [f]\in \operatorname {Hom} (C,X)}$ ${\displaystyle X}$

Estructura

Estos espacios son variedades proyectivas normales de dimensión pura.

${\displaystyle \dim({\overline {M}}_{0,n}(X,\beta ))=\dim(X)+\int _{\beta }c_{1}(T_{X})+n-3}$  ^[3]

que son localmente el cociente de una variedad suave por un grupo finito. Además, la subvariedad abierta que parametriza las aplicaciones no singulares es un espacio de módulos finos suaves. En particular, esto implica que las pilas son orbifolds . ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}^{*}(X,\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{0,n}(X,\beta )}$

Divisores de límites

Los espacios de módulos tienen buenos divisores de contorno para variedades convexas dados por ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle D(A,B;\beta _{1},\beta _{2})={\overline {M}}_{0,A\cup \{\bullet \}}(X,\beta _{1})\times _{X}{\overline {M}}_{0,B\cup \{\bullet \}}(X,\beta _{2})}$  ^[3]

para una partición de y el punto que se encuentra a lo largo de la intersección de dos curvas racionales . ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$ ${\displaystyle C=C_{1}\cup C_{2}}$

Véase también

• Curva estable
• Espacio de módulos
• Invariante de Gromov-Witten
• Cohomología cuántica
• Módulos de curvas

Referencias

1. Kontsevich, Maxim (1995). "Enumeración de curvas racionales mediante acciones de toro". En Dijkgraaf, Robbert H .; Faber, Carel F.; van der Geer, Gerard BM (eds.). El espacio de módulos de las curvas . Progreso en Matemáticas. vol. 129. Boston: Birkhäuser. págs. 335–368. arXiv : hep-th/9405035 . doi :10.1007/978-1-4612-4264-2_12. ISBN 978-1-4612-8714-8. Número de identificación del sujeto  16131978.
2. Kontsevich, Maxim ; Manin, Yuri . "Clases de Gromov-Witten, cohomología cuántica y geometría enumerativa" (PDF) . p. 9. Archivado (PDF) desde el original el 28 de noviembre de 2009.
3. Fulton, W.; Pandharipande, R. (17 de mayo de 1997). "Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica". págs.6, 12, 29, 31. arXiv : alg-geom/9608011 .
4. "ag.geometría algebraica: ¿existe alguna curva racional en una variedad abeliana?". MathOverflow . Consultado el 28 de febrero de 2020 .
5. Maulik, Davesh. "Conferencias sobre la teoría de Donaldson-Thomas" (PDF) . p. 2. Archivado (PDF) desde el original el 1 de marzo de 2020.

Enlaces externos

• Clases de Gromov-Witten, cohomología cuántica y geometría enumerativa
• Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica arXiv :alg-geom/9608011