La dinámica de contacto se ocupa del movimiento de sistemas multicuerpo sometidos a contactos unilaterales y fricción . [1] Dichos sistemas están omnipresentes en muchas aplicaciones de dinámica multicuerpo. Consideremos, por ejemplo,
A continuación se explica cómo se pueden modelar estos sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción y cómo se puede obtener la evolución temporal de estos sistemas mediante integración numérica . Además, se dan algunos ejemplos.
Los dos enfoques principales para modelar sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción son el enfoque regularizado y el no suave. A continuación, se presentan los dos enfoques utilizando un ejemplo simple. Considere un bloque que puede deslizarse o pegarse sobre una mesa (ver figura 1a). El movimiento del bloque se describe mediante la ecuación de movimiento, mientras que la fuerza de fricción es desconocida (ver figura 1b). Para obtener la fuerza de fricción, se debe especificar una ley de fuerza separada que vincule la fuerza de fricción con la velocidad asociada del bloque.
Un enfoque más sofisticado es el enfoque no suave , que utiliza leyes de fuerza con valores establecidos para modelar sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Considere nuevamente el bloque que se desliza o se pega sobre la mesa. La ley de fricción con valores establecidos asociada de tipo Sgn se representa en la figura 3. Con respecto al caso de deslizamiento, se da la fuerza de fricción. Con respecto al caso de pegado, la fuerza de fricción tiene valores establecidos y se determina de acuerdo con una restricción algebraica adicional .
Para concluir, el enfoque no suave cambia la estructura matemática subyacente si es necesario y conduce a una descripción adecuada de los sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Como consecuencia de la estructura matemática cambiante, pueden ocurrir impactos , y las evoluciones temporales de las posiciones y las velocidades ya no pueden asumirse como suaves . Como consecuencia, deben definirse ecuaciones de impacto adicionales y leyes de impacto. Para manejar la estructura matemática cambiante, las leyes de fuerza de valor establecido se escriben comúnmente como problemas de desigualdad o inclusión . La evaluación de estas desigualdades/inclusiones se realiza comúnmente resolviendo problemas de complementariedad lineal (o no lineal) , mediante programación cuadrática o transformando los problemas de desigualdad/inclusión en ecuaciones proyectivas que pueden resolverse iterativamente mediante técnicas de Jacobi o Gauss-Seidel . El enfoque no suave proporciona un nuevo enfoque de modelado para sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción, que incorpora también toda la mecánica clásica sujeta a restricciones bilaterales. El enfoque está asociado a la teoría DAE clásica y conduce a esquemas de integración robustos.
La integración de modelos regularizados se puede realizar mediante solucionadores rígidos estándar para ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, pueden producirse oscilaciones inducidas por la regularización. Si consideramos los modelos no suaves de sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción, existen dos clases principales de integradores: los integradores impulsados por eventos y los denominados integradores de pasos de tiempo.
Los integradores basados en eventos distinguen entre partes suaves del movimiento en las que la estructura subyacente de las ecuaciones diferenciales no cambia y en eventos o los llamados puntos de conmutación en los que esta estructura cambia, es decir, instantes de tiempo en los que se cierra un contacto unilateral o se produce una transición de stick-slip. En estos puntos de conmutación, se evalúan las leyes de fuerza (y de impacto adicional) con valores establecidos para obtener una nueva estructura matemática subyacente en la que se puede continuar la integración. Los integradores basados en eventos son muy precisos, pero no son adecuados para sistemas con muchos contactos.
Los integradores de pasos de tiempo son esquemas numéricos dedicados para sistemas mecánicos con muchos contactos. El primer integrador de pasos de tiempo fue presentado por JJ Moreau. Los integradores no apuntan a resolver puntos de conmutación y, por lo tanto, son muy robustos en su aplicación. Como los integradores trabajan con la integral de las fuerzas de contacto y no con las fuerzas en sí, los métodos pueden manejar tanto el movimiento como los eventos impulsivos como los impactos. Como desventaja, la precisión de los integradores de pasos de tiempo es baja. Esto se puede solucionar utilizando un refinamiento del tamaño de paso en los puntos de conmutación. Las partes suaves del movimiento se procesan mediante tamaños de paso más grandes y se pueden utilizar métodos de integración de orden superior para aumentar el orden de integración.
En esta sección se ofrecen algunos ejemplos de sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Los resultados se han obtenido mediante un enfoque no uniforme utilizando integradores de pasos de tiempo.
Los métodos de pasos de tiempo son especialmente adecuados para la simulación de materiales granulares. La figura 4 muestra la simulación de la mezcla de 1000 discos.
Consideremos dos esferas que chocan durante una partida de billar. La figura 5a muestra algunas instantáneas de dos esferas en colisión y la figura 5b muestra las trayectorias asociadas.
Si se acelera demasiado una motocicleta, hace un caballito. La figura 6 muestra algunas instantáneas de una simulación.
El juguete del pájaro carpintero es un problema de referencia muy conocido en dinámica de contacto. El juguete consta de un poste, un manguito con un orificio ligeramente más grande que el diámetro del poste, un resorte y el cuerpo del pájaro carpintero. En funcionamiento, el pájaro carpintero se mueve por el poste realizando una especie de movimiento de cabeceo, que es controlado por el manguito. La figura 7 muestra algunas instantáneas de una simulación.
Puede encontrar una simulación y visualización en https://github.com/gabyx/Woodpecker.