Conjunto rotacional de Gibbs

Conjunto estadístico

El conjunto rotacional de Gibbs representa los estados posibles de un sistema mecánico en equilibrio térmico y rotacional a temperatura y velocidad angular . ^[1] Para obtener este conjunto se puede utilizar el procedimiento de Jaynes. ^[2] Un conjunto es el conjunto de microestados correspondientes a un macroestado dado . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

El conjunto rotacional de Gibbs asigna una probabilidad a un microestado dado caracterizado por energía y momento angular para una temperatura y velocidad rotacional dadas . ^{[1] [3]} ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta (E_{i}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {J}}_{i})}}$

¿Dónde está la función de partición? ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\beta (E_{i}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {J}}_{i})}}$

Derivación

El conjunto rotacional de Gibbs se puede derivar utilizando el mismo método general que se utiliza para derivar cualquier conjunto, tal como lo indica ET Jaynes en su artículo de 1956 Teoría de la información y mecánica estadística. ^[3] Sea una función con valor esperado ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \langle f(x)\rangle =\sum _{i}p_{i}f(x_{i})}$

donde es la probabilidad de , que no se conoce a priori . Las probabilidades obedecen a la normalización. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$

Para encontrar , se maximiza la entropía de Shannon , donde la entropía de Shannon es como ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H\sim \sum _{i}p_{i}\ln(p_{i})}$

Se utiliza el método de multiplicadores de Lagrange para maximizar bajo las restricciones y la condición de normalización, utilizando multiplicadores de Lagrange y para encontrar ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle f(x)\rangle }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle p_{i}=e^{-\lambda -\mu f(x_{i})}}$

${\displaystyle \lambda }$se encuentra mediante normalización

${\displaystyle \lambda =\ln \left(\sum _{i}e^{-\mu f(x_{i})}\right)=\ln(Z(\mu ))}$

y se puede escribir como ${\displaystyle \langle f(x)\rangle }$

${\displaystyle \langle f(x)\rangle =-{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln \left(\sum _{i}e^{-\mu f(x_{i})}\right)=-{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln(Z(\mu ))}$

¿Dónde está la función de partición? ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z(\mu )=\sum _{i}e^{-\mu f(x_{i})}}$

Esto se puede generalizar fácilmente a cualquier número de ecuaciones mediante la incorporación de más multiplicadores de Lagrange. ^[3] ${\displaystyle f(x)}$

Ahora, investigando el conjunto rotacional de Gibbs, se utiliza nuevamente el método de multiplicadores de Lagrange para maximizar la entropía de Shannon , pero esta vez bajo las restricciones del valor esperado de energía y el valor esperado del momento angular , ^[3] lo que da como ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle E\rangle }$ ${\displaystyle \langle J\rangle }$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}=e^{-\lambda _{0}E_{i}-{\vec {\lambda }}_{1}\cdot {\vec {J}}_{i}-\lambda _{3}}}$

Mediante la normalización, se encuentra que es ${\displaystyle \lambda _{3}}$

${\displaystyle \lambda _{3}=\ln \left(\sum _{i}e^{-\lambda _{0}E_{i}-{\vec {\lambda }}_{1}\cdot {\vec {J}}_{i}}\right)=\ln(Z)}$

Al igual que antes, y se dan por ${\displaystyle \langle E\rangle }$ ${\displaystyle \langle J\rangle }$

${\displaystyle \langle E\rangle =-{\frac {\partial }{\partial \lambda _{0}}}\ln \left(\sum _{i}e^{-\lambda _{0}E_{i}-{\vec {\lambda }}_{1}\cdot {\vec {J}}_{i}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial \lambda _{0}}}\ln \left(Z\right)}$

${\displaystyle \langle J\rangle =-{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\ln \left(\sum _{i}e^{-\lambda _{0}E_{i}-{\vec {\lambda }}_{1}\cdot {\vec {J}}_{i}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\ln(Z)}$

La entropía del sistema está dada por ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i})=k(\lambda _{0}\langle E\rangle +{\vec {\lambda }}_{1}\cdot \langle {\vec {J}}\rangle +\ln(Z))}$

de tal manera que

${\displaystyle dS=k(\lambda _{0}\mathrm {d} \langle E\rangle +{\vec {\lambda }}_{1}\mathrm {d} \langle {\vec {J}}\rangle +\mathrm {d} \ln(Z))}$

donde es la constante de Boltzmann . Se supone que el sistema está en equilibrio, sigue las leyes de la termodinámica y tiene una temperatura y una velocidad angular fijas y uniformes . La primera ley de la termodinámica aplicada a este sistema es ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

${\displaystyle \mathrm {d} E=\mathrm {d} Q+{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} \langle {\vec {J}}\rangle }$

Recordando el diferencial de entropía ${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} Q}{T}}}$

Combinando la primera ley de la termodinámica con el diferencial de entropía obtenemos

${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} E}{T}}-{\frac {{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} \langle {\vec {J}}\rangle }{T}}}$

Comparando este resultado con el diferencial de entropía dado por la maximización de la entropía se puede determinar y ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\lambda }}_{1}}$

${\displaystyle \lambda _{0}=\beta }$

${\displaystyle {\vec {\lambda }}_{1}=-\beta {\vec {\omega }}}$

lo que permite escribir la probabilidad de un estado dado como ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta (E_{i}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {J}}_{i})}}$

que se reconoce como la probabilidad de algún microestado dado un macroestado prescrito utilizando el conjunto rotacional de Gibbs. ^{[1] [3] [2]} El término puede reconocerse como el hamiltoniano efectivo para el sistema, que luego simplifica la función de partición rotacional de Gibbs a la de un sistema canónico normal. ${\displaystyle E_{i}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {J}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{i}}}$

Aplicabilidad

El conjunto rotacional de Gibbs es útil para los cálculos relacionados con sistemas rotatorios. Se utiliza comúnmente para describir la distribución de partículas en centrífugas. Por ejemplo, tomemos un cilindro rotatorio (altura , radio ) con un número de partículas fijo , un volumen fijo , una energía promedio fija y un momento angular promedio . El valor esperado de la densidad numérica de partículas en el radio se puede escribir como ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle E\rangle }$ ${\displaystyle \langle {\vec {J}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle n(r)\rangle }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \langle n(r)\rangle ={\frac {1}{Z}}\int n(r){\frac {\mathrm {d} ^{3}p\;\mathrm {d} ^{3}q}{h^{3}}}e^{-\beta (E-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {J}})}}$

Utilizando la función de partición rotacional de Gibbs, se puede calcular que es ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z={\frac {\pi ^{5/2}Z{\sqrt {\beta m}}\left(e^{{\frac {1}{2}}\beta mR^{2}\omega ^{2}}-1\right)}{{\sqrt {2}}\beta ^{3}h^{3}\omega ^{2}}}}$

La densidad de una partícula en un punto dado puede considerarse como la unidad dividida por un volumen infinitesimal, que puede representarse como una función delta.

${\displaystyle n(r)={\frac {1}{\mathrm {d} r\;r\;\mathrm {d} \theta \;\mathrm {d} z}}\rightarrow {\frac {\delta (r'-r)\delta (\theta '-\theta )\delta (z'-z)}{r'}}}$

que finalmente da como ${\displaystyle \langle n(r)\rangle }$

${\displaystyle \langle n(r)\rangle ={\frac {\beta m\omega ^{2}}{2\pi Z}}{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\beta mr^{2}\omega ^{2}}}{e^{{\frac {1}{2}}\beta mR^{2}\omega ^{2}}-1}}}$

Cuál es el resultado esperado.

Diferencia entre el conjunto grancanónico y el conjunto canónico de Gibbs

El conjunto gran canónico y el conjunto canónico de Gibbs son dos conjuntos estadísticos diferentes utilizados en la mecánica estadística para describir sistemas con diferentes restricciones.

El conjunto gran canónico describe un sistema que puede intercambiar energía y partículas con un reservorio. Se caracteriza por tres variables: la temperatura (T), el potencial químico (μ) y el volumen (V) del sistema. ^[4] El potencial químico determina el número promedio de partículas en este conjunto, lo que permite cierta variación en el número de partículas. El conjunto gran canónico se utiliza comúnmente para estudiar sistemas con una temperatura y un potencial químico fijos, pero un número de partículas variable, como los gases en contacto con un reservorio de partículas. ^[5]

Por otra parte, el conjunto canónico de Gibbs describe un sistema que puede intercambiar energía pero tiene un número fijo de partículas. Se caracteriza por dos variables: la temperatura (T) y el volumen (V) del sistema. En este conjunto, la energía del sistema puede fluctuar, pero el número de partículas permanece fijo. El conjunto canónico de Gibbs se utiliza comúnmente para estudiar sistemas con una temperatura y un número de partículas fijos, pero con energía variable, como los sistemas en equilibrio térmico. ^[6]

Referencias

1. Gibbs, Josiah Willard (2010) [1902]. Principios elementales de mecánica estadística: desarrollados con especial referencia a los fundamentos racionales de la termodinámica . Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511686948. ISBN 9781108017022.
2. Thomson, Mitchell; Dyer, Charles C. (29 de marzo de 2012). "Mecánica estadística de agujeros negros y el conjunto de velocidades angulares". arXiv : 1203.6542 [gr-qc].
3. Jaynes, Edwin Thompson ; Heims, SP (1962). "Teoría de los efectos giromagnéticos y algunos fenómenos magnéticos relacionados". Reseñas de física moderna . 34 (2): 143–165. Bibcode :1962RvMP...34..143H. doi :10.1103/RevModPhys.34.143.
4. "Gran conjunto canónico: una descripción general | Temas de ScienceDirect" www.sciencedirect.com . Consultado el 15 de mayo de 2023 .
5. "LECTURA 9 Mecánica estadística". ps.uci.edu . Consultado el 15 de mayo de 2023 .
6. Emch, Gérard G.; Liu, Chuang (2002). "Los conjuntos canónicos de Gibbs". En Emch, Gérard G.; Liu, Chuang (eds.). La lógica de la física termoestadística . Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 331–372. doi :10.1007/978-3-662-04886-3_10. ISBN 978-3-662-04886-3. Consultado el 15 de mayo de 2023 .