Conjunto de radón y Nikodym

Objeto geométrico que representa un "pastel"

En la teoría del corte justo de la torta , el conjunto de Radon-Nikodym (RNS) es un objeto geométrico que representa una torta, basado en cómo diferentes personas evalúan las diferentes partes de la torta.

Ejemplo

Supongamos que tenemos un pastel compuesto de cuatro partes. Hay dos personas, Alice y George, con gustos diferentes: cada persona valora las distintas partes del pastel de manera diferente. La tabla siguiente describe las partes y sus valores; la última fila, "Punto RNS", se explica a continuación.

El "punto RNS" de un trozo de tarta describe los valores relativos de los socios de ese trozo. Tiene dos coordenadas: una para Alice y otra para George. Por ejemplo:

• Los socios están de acuerdo con los valores de la parte de chocolate, por lo que las coordenadas de su punto RNS también son iguales (están normalizadas de modo que su suma sea 1).
• La parte del limón solo es valiosa para Alice, por lo que en su punto RNS, solo la coordenada de Alice es 1 mientras que la coordenada de George es 0.
• Tanto en la parte de vainilla como en la de cerezas, la relación entre el valor de Alice y el valor de George es 1:4. Por lo tanto, esta es también la relación entre las coordenadas de sus puntos RNS. Tenga en cuenta que tanto la parte de vainilla como las cerezas están asignadas al mismo punto RNS.

El RNS de un pastel es simplemente el conjunto de todos sus puntos RNS; en el pastel anterior, este conjunto contiene tres puntos: {(0,5,0,5), (1,0), (0,2,0,8)}. Puede representarse mediante el segmento (1,0)-(0,1):

En efecto, la torta se descompone y se reconstruye en el segmento (1,0)-(0,1).

Definiciones

Hay un conjunto ("el pastel") y un conjunto que es un álgebra sigma de subconjuntos de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$

Hay socios. Cada socio tiene una medida de valor personal. Esta medida determina cuánto vale cada subconjunto para ese socio. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{i}:\mathbb {C} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$

Defina la siguiente medida:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}V_{i}}$

Nótese que cada una es una medida absolutamente continua con respecto a . Por lo tanto, por el teorema de Radon-Nikodym , tiene una derivada de Radon-Nikodym, que es una función tal que para cada subconjunto medible : ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{i}:C\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle V_{i}(X)=\int _{X}v_{i}\,dV}$

Se denominan funciones de densidad de valor y tienen las siguientes propiedades, para casi todos los puntos de la torta : ^{[1] : 222} ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle x\in C}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)=1}$
• ${\displaystyle \forall i:0\leq v_{i}(x)\leq 1}$

Para cada punto , el punto RNS de se define mediante: ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle v(x)=(v_{1}(x),\dots ,v_{n}(x))}$

Nótese que siempre es un punto en la unidad símplex dimensional en , denotado por (o simplemente cuando se desprende del contexto). ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$

El RNS de un pastel es el conjunto de todos sus puntos RNS:

${\displaystyle RNS(C)=\{v(x)\mid x\in C\}}$

La torta se descompone y luego se reconstruye en su interior . Cada vértice de está asociado con uno de los n socios. Cada fracción de la torta se asigna a un punto en según las valoraciones: cuanto más valiosa es una porción para un socio, más cerca está del vértice de ese socio. Esto se muestra en el ejemplo anterior para socios (donde es solo el segmento entre (1,0) y (0,1)). Akin ^[2] describe el significado del RNS para socios: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n=3}$

Imaginemos una mesa con forma de triángulo equilátero con cada consumidor sentado en un vértice... la deseabilidad para el consumidor de un fragmento de pastel en un punto está dada por la coordenada baricéntrica que mide su cercanía al vértice . Por lo tanto, es 1 en el vértice y declina linealmente hasta el valor 0 en la cara opuesta. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v\in \Delta }$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$

Particiones RNS eficientes

El símplex unitario se puede dividir entre los socios, lo que da a cada socio un subconjunto . Cada partición de este tipo induce una partición de la torta , en la que el socio recibe los bits cuyos puntos RNS caen dentro de . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$

Aquí hay dos particiones de ejemplo para el ejemplo de dos socios, donde es el segmento entre (1,0) y (0,1) ${\displaystyle \Delta }$

• Corte en el punto (0,4,0,6). Entregue el segmento (1,0)-(0,4,0,6) a Alice y el segmento (0,4,0,6)-(0,1) a George. Esto corresponde a darle el limón y el chocolate a Alice (valor total 27) y el resto a George (valor total 12). ${\displaystyle \Delta }$
• Corta en el mismo punto (0,4,0,6), pero dale el segmento (1,0)-(0,4,0,6) a George (valor total 18) y el segmento (0,4,0,6)-(0,1) a Alice (valor total 3).

La primera partición parece mucho más eficiente que la segunda: en la primera, cada socio recibe las piezas que son más valiosas para él/ella (las más cercanas a su vértice del símplex), mientras que en la segunda partición sucede lo contrario. De hecho, la primera partición es eficiente en el sentido de Pareto, mientras que la segunda partición no lo es. Por ejemplo, en la segunda partición, Alicia puede darle las cerezas a Jorge a cambio de 2/9 del chocolate; esto mejorará la utilidad de Alicia en 2 y la de Jorge en 4. Este ejemplo ilustra un hecho general que definiremos a continuación.

Para cada punto : ${\displaystyle w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \Delta }$

• Digamos que una partición de pertenece a , si: ${\displaystyle \Delta =\Delta _{1}\cup \cdots \cup \Delta _{n}}$ ${\displaystyle w}$

Para todos y para todas : ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})\in \Delta _{i}}$ ${\displaystyle {\frac {v_{i}}{v_{j}}}\geq {\frac {w_{i}}{w_{j}}}}$

• Digamos que una partición de pertenece a , si es inducida por una partición de que pertenece a . Es decir: ${\displaystyle C=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle w}$

Para todos y para todas : ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle x\in X_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {v_{i}(x)}{v_{j}(x)}}\geq {\frac {w_{i}}{w_{j}}}}$

Es posible demostrar que: ^{[1] : 241–244}

Una partición pertenece a un punto positivo , ${\displaystyle C=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}}$ ${\displaystyle w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \Delta ^{+}}$

si y sólo si maximiza la suma: ${\displaystyle {\frac {V_{1}(X_{1})}{w_{1}}}+\cdots +{\frac {V_{1}(X_{n})}{w_{n}}}}$

Es decir, si se trata de una división utilitarista-maximal ponderada con vector de peso . ${\displaystyle w}$

Dado que cada división Pareto-eficiente es ponderada-utilitariamente-máxima para alguna selección de pesos, ^[3] el siguiente teorema también es verdadero: ^{[1] : 246}

Una partición positiva pertenece a algún punto positivo en , ${\displaystyle C=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{+}}$

si y sólo si es Pareto-eficiente .

Por lo tanto, existe un mapeo entre el conjunto de particiones Pareto-eficientes y los puntos en . ${\displaystyle \Delta }$

Volviendo al ejemplo anterior:

• La primera partición (dar el limón y el chocolate a Alicia y el resto a Jorge) pertenece al punto , así como a otros puntos como (algunas particiones pertenecen a más de un punto). De hecho, es un reparto utilitario de la tarta que maximiza la suma , y también es eficiente en el sentido de Pareto. ${\displaystyle (0.4,0.6)}$ ${\displaystyle (0.3,0.7)}$ ${\displaystyle {\frac {V_{\text{Alice}}}{0.4}}+{\frac {V_{\text{George}}}{0.6}}}$
• Por el contrario, la segunda partición no pertenece a ningún punto y, de hecho, no es Pareto-eficiente.
• Hay algunos puntos a los que pertenecen muchas particiones diferentes. Por ejemplo, el punto . Este es un punto del RNS y hay una masa positiva de pastel asociada con él, por lo que cualquier partición de esa masa conduce a una partición que pertenece a . Por ejemplo, dar el limón y el chocolate a Alice (valor 27) y el resto a George (valor 12) pertenece a ; dar solo el limón a Alice (valor 9) y el resto a George (valor 30) también le pertenece; dar el limón y la mitad del chocolate a Alice (valor 18) y el resto a George (valor 21) también le pertenece; etc. Todas estas particiones maximizan la suma ; de hecho, esta suma es 78 en todas estas particiones. Todas son eficientes en el sentido de Pareto. ${\displaystyle (0.5,0.5)}$ ${\displaystyle (0.5,0.5)}$ ${\displaystyle (0.5,0.5)}$ ${\displaystyle {\frac {V_{\text{Alice}}}{0.5}}+{\frac {V_{\text{George}}}{0.5}}}$

Historia

El RNS fue introducido como parte de los teoremas de Dubins-Spanier y utilizado en la prueba del teorema de Weller y en resultados posteriores por Ethan Akin. ^[2] El término "conjunto de Radon-Nikodym" fue acuñado por Julius Barbanel. ^[1]

Véase también

• Conjunto de piezas individuales

Referencias

1. Barbanel, Julius B. (2005). La geometría de la división justa y eficiente. Introducción de Alan D. Taylor. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511546679. ISBN 0-521-84248-4.Señor 2132232  . Un breve resumen está disponible en: Barbanel, J. (2010). "Un enfoque geométrico para la división justa". The College Mathematics Journal . 41 (4): 268. doi :10.4169/074683410x510263.
2. Akin, Ethan (1995). "Vilfredo Pareto corta el pastel". Journal of Mathematical Economics . 24 : 23. doi :10.1016/0304-4068(94)00674-y.
3. Barbanel, Julius B.; Zwicker, William S. (1997). "Dos aplicaciones de un teorema de Dvoretsky, Wald y Wolfovitz a la división de tortas". Teoría y decisión . 43 (2): 203. doi :10.1023/a:1004966624893.