En la teoría de la representación matemática , la coherencia es una propiedad de los conjuntos de caracteres que permite extender una isometría desde el subespacio de grado cero de un espacio de caracteres a todo el espacio. La noción general de coherencia fue desarrollada por Feit (1960, 1962), como una generalización de la prueba de Frobenius de la existencia de un núcleo de Frobenius de un grupo de Frobenius y del trabajo de Brauer y Suzuki sobre caracteres excepcionales . Feit y Thompson (1963, Capítulo 3) desarrollaron la coherencia aún más en la prueba del teorema de Feit-Thompson de que todos los grupos de orden impar son resolubles.
Supóngase que H es un subgrupo de un grupo finito G , y S un conjunto de caracteres irreducibles de H . Escribimos I ( S ) para el conjunto de combinaciones lineales integrales de S , y I 0 ( S ) para el subconjunto de elementos de grado 0 de I ( S ). Supóngase que τ es una isometría de I 0 ( S ) a los caracteres virtuales de grado 0 de G . Entonces τ se llama coherente si puede extenderse a una isometría de I ( S ) a caracteres de G e I 0 ( S ) no es cero. Aunque estrictamente hablando la coherencia es realmente una propiedad de la isometría τ, es común decir que el conjunto S es coherente en lugar de decir que τ es coherente.
Feit demostró varios teoremas que dan condiciones bajo las cuales un conjunto de caracteres es coherente. Uno típico es el siguiente. Supóngase que H es un subgrupo de un grupo G con normalizador N , tal que N es un grupo de Frobenius con núcleo H , y sean S los caracteres irreducibles de N que no tienen H en su núcleo. Supóngase que τ es una isometría lineal de I 0 ( S ) en los caracteres de grado 0 de G . Entonces τ es coherente a menos que
Si G es el grupo simple SL 2 ( F 2 n ) para n > 1 y H es un 2-subgrupo de Sylow, con inducción τ, entonces la coherencia falla por la primera razón: H es abeliano elemental y N / H tiene orden 2 n –1 y actúa simplemente transitivamente sobre él.
Si G es el grupo Suzuki simple de orden (2 n –1) 2 2 n ( 2 2 n +1) con n impar y n >1 y H es el 2-subgrupo de Sylow y τ es inducción, entonces la coherencia falla por la segunda razón. La abelianización de H tiene orden 2 n , mientras que el grupo N / H tiene orden 2 n –1.
En la prueba de la teoría de Frobenius sobre la existencia de un núcleo de un grupo de Frobenius G donde el subgrupo H es el subgrupo que fija un punto y S es el conjunto de todos los caracteres irreducibles de H , la isometría τ en I 0 ( S ) es simplemente inducción, aunque su extensión a I ( S ) no es inducción.
De manera similar, en la teoría de caracteres excepcionales la isometría τ es nuevamente inducción.
En casos más complicados la isometría τ ya no es inducción. Por ejemplo, en el teorema de Feit-Thompson la isometría τ es la isometría de Dade .