Distribución binomial de Poisson

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución binomial de Poisson es la distribución de probabilidad discreta de una suma de ensayos de Bernoulli independientes que no necesariamente están distribuidos de manera idéntica. El concepto lleva el nombre de Siméon Denis Poisson .

En otras palabras, es la distribución de probabilidad del número de éxitos en una colección de n experimentos independientes de sí/no con probabilidades de éxito . La distribución binomial ordinaria es un caso especial de la distribución binomial de Poisson, cuando todas las probabilidades de éxito son iguales, es decir . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}}$

Definiciones

Función de probabilidad

La probabilidad de tener k ensayos exitosos de un total de n se puede escribir como la suma ^[1]

${\displaystyle \Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$

donde es el conjunto de todos los subconjuntos de k enteros que se pueden seleccionar . Por ejemplo, si n  = 3, entonces . es el complemento de , es decir . ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,...,n\}}$ ${\displaystyle F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A}$

${\displaystyle F_{k}}$contendrá elementos cuya suma no es factible de calcular en la práctica a menos que el número de ensayos n sea pequeño (por ejemplo, si n  = 30, contiene más de 10 ²⁰ elementos). Sin embargo, existen otras formas más eficientes de calcular . ${\displaystyle n!/((n-k)!k!)}$ ${\displaystyle F_{15}}$ ${\displaystyle \Pr(K=k)}$

Siempre que ninguna de las probabilidades de éxito sea igual a uno, se puede calcular la probabilidad de k éxitos utilizando la fórmula recursiva ^{[2] [3]}

${\displaystyle \Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=k-i)T(i)&k>0\\\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.}$

La fórmula recursiva no es numéricamente estable y debe evitarse si es mayor que aproximadamente 20. Una alternativa es utilizar un algoritmo de divide y vencerás : si asumimos que es una potencia de dos, denota por el binomio de Poisson y la convolución operador, tenemos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2^{b}}$ ${\displaystyle f(p_{i:j})}$ ${\displaystyle p_{i},\dots ,p_{j}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})}$

Otra posibilidad es utilizar la transformada discreta de Fourier . ^[4]

${\displaystyle \Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}C^{-lk}\prod \limits _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1)p_{m}\right)}$

dónde y . ${\displaystyle C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Otros métodos más se describen en "Aplicaciones estadísticas de las distribuciones binomiales de Poisson y de Bernoulli condicional" de Chen y Liu. ^[5]

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (CDF) se puede expresar como:

${\displaystyle \Pr(K\leq k)=\sum _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$,

¿Dónde está el conjunto de todos los subconjuntos de tamaño entre los que se puede seleccionar ? ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \{1,2,3,...,n\}}$

Propiedades

Media y varianza

Dado que una variable distribuida binomial de Poisson es una suma de n variables independientes distribuidas de Bernoulli, su media y varianza serán simplemente sumas de la media y la varianza de las n distribuciones de Bernoulli:

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}$

Para valores fijos de la media ( ) y el tamaño ( n ), la varianza es máxima cuando todas las probabilidades de éxito son iguales y tenemos una distribución binomial. Cuando la media es fija, la varianza está limitada desde arriba por la varianza de la distribución de Poisson con la misma media que se alcanza asintóticamente ^{[ cita necesaria ]} cuando n tiende al infinito. ${\displaystyle \mu }$

entropía

No existe una fórmula simple para la entropía de una distribución binomial de Poisson, pero la entropía está limitada arriba por la entropía de una distribución binomial con el mismo parámetro numérico y la misma media. Por lo tanto, la entropía también está limitada por la entropía de una distribución de Poisson con la misma media. ^[6]

La conjetura de la concavidad de Shepp-Olkin, debida a Lawrence Shepp e Ingram Olkin en 1981, establece que la entropía de una distribución binomial de Poisson es una función cóncava de las probabilidades de éxito . ^[7] Esta conjetura fue probada por Erwan Hillion y Oliver Johnson en 2015. ^[8] La conjetura de monotonía de Shepp-Olkin, también del mismo artículo de 1981, es que la entropía es monótona aumentando en , si es que en todos . Esta conjetura también fue probada por Hillion y Johnson, en 2019. ^[9] ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\leq 1/2}$

Chernoff obligado

La probabilidad de que una distribución binomial de Poisson crezca se puede acotar utilizando su función generadora de momentos de la siguiente manera (válida cuando y para cualquier ): ${\displaystyle s\geq \mu }$ ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[S\geq s]&\leq \exp(-st)\operatorname {E} \left[\exp \left[t\sum _{i}X_{i}\right]\right]\\&=\exp(-st)\prod _{i}(1-p_{i}+e^{t}p_{i})\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(p_{i}(e^{t}-1)+1\right)\right)\\&\leq \exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(\exp(p_{i}(e^{t}-1))\right)\right)\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}p_{i}(e^{t}-1)\right)\\&=\exp \left(s-\mu -s\log {\frac {s}{\mu }}\right),\end{aligned}}}$

donde tomamos . Esto es similar a los límites finales de una distribución binomial . ${\textstyle t=\log \left(s/\mu \right)}$

Métodos computacionales

La referencia ^[10] analiza técnicas para evaluar la función de masa de probabilidad de la distribución binomial de Poisson. En él se basan las siguientes implementaciones de software:

• ^{Junto con el artículo} se proporcionó un paquete R poibin, que está disponible para calcular la cdf, pmf, función cuantil y generación de números aleatorios de la distribución binomial de Poisson. Para calcular el PMF, se puede especificar un algoritmo DFT o un algoritmo recursivo para calcular el PMF exacto, y también se pueden especificar métodos de aproximación que utilizan la distribución normal y de Poisson.
• poibin (implementación de Python) puede calcular PMF y CDF, utiliza el método DFT descrito en el documento para hacerlo.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Teorema de Le Cam

Referencias

1. Wang, YH (1993). «Sobre el número de éxitos en ensayos independientes» (PDF) . Estadística Sínica . 3 (2): 295–312.
2. Shah, BK (1994). "Sobre la distribución de la suma de variables aleatorias independientes con valores enteros". Estadístico estadounidense . 27 (3): 123–124. JSTOR  2683639.
3. Chen, XH; AP Dempster; JS Liu (1994). "Muestreo ponderado de población finita para maximizar la entropía" (PDF) . Biometrika . 81 (3): 457. doi :10.1093/biomet/81.3.457.
4. Fernández, M.; S. Williams (2010). "Expresión de forma cerrada para la función de densidad de probabilidad binomial de Poisson". Transacciones IEEE sobre sistemas aeroespaciales y electrónicos . 46 (2): 803–817. Código Bib : 2010ITAES..46..803F. doi :10.1109/TAES.2010.5461658. S2CID  1456258.
5. Chen, SX; JS Liu (1997). "Aplicaciones estadísticas de las distribuciones binomial de Poisson y Bernoulli condicional". Estadística Sínica . 7 : 875–892.
6. Harremoës, P. (2001). «Distribuciones binomiales y de Poisson como distribuciones de máxima entropía» (PDF) . Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 47 (5): 2039-2041. doi : 10.1109/18.930936.
7. Shepp, Lawrence; Olkin, Ingram (1981). "Entropía de la suma de variables aleatorias independientes de Bernoulli y de la distribución multinomial". En Gani, J.; Rohatgi, VK (eds.). Contribuciones a la probabilidad: una colección de artículos dedicados a Eugene Lukács . Nueva York: Academic Press. págs. 201–206. ISBN 0-12-274460-8. SEÑOR  0618689.
8. Hillión, Erwan; Johnson, Oliver (5 de marzo de 2015). "Una prueba de la conjetura de la concavidad de la entropía de Shepp-Olkin". Bernoulli . 23 (4B): 3638–3649. arXiv : 1503.01570 . doi :10.3150/16-BEJ860. S2CID  8358662.
9. Hillión, Erwan; Johnson, Oliver (9 de noviembre de 2019). "Una prueba de la conjetura de la monotonicidad de la entropía de Shepp-Olkin". Revista Electrónica de Probabilidad . 24 (126): 1–14. arXiv : 1810.09791 . doi : 10.1214/19-EJP380 .
10. Hong, Yili (marzo de 2013). "Sobre el cálculo de la función de distribución para la distribución binomial de Poisson". Estadística computacional y análisis de datos . 59 : 41–51. doi :10.1016/j.csda.2012.10.006.