Octágono suavizado

Forma bidimensional

Un octágono suavizado.

La familia de empaquetaduras de máxima densidad del octágono suavizado.

El octágono suavizado es una región en el plano encontrada por Karl Reinhardt en 1934 y conjeturada por él que tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja del plano de todas las formas convexas con simetría central . ^[1] También fue descubierto de forma independiente por Kurt Mahler en 1947. ^[2] Se construye reemplazando las esquinas de un octágono regular con una sección de una hipérbola que es tangente a los dos lados adyacentes a la esquina y asintótica a los lados. adyacentes a estos.

Construcción

Las esquinas del octágono suavizado se pueden encontrar girando tres octágonos regulares cuyos centros forman un triángulo con forma variable pero área constante.

Construcción del octágono suavizado (negro), la hipérbola tangente (roja), las asíntotas de esta hipérbola (verde) y los lados tangentes a la hipérbola (azul)

La hipérbola que forma cada esquina del octágono suavizado es tangente a dos lados de un octágono regular y asintótica a los dos adyacentes a estos. ^[3] Los siguientes detalles se aplican a un octágono regular de circunradio con su centro en el punto y un vértice en el punto . Para dos constantes y , la hipérbola viene dada por la ecuación o la parametrización equivalente (solo para la rama derecha) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (2+{\sqrt {2}},0)}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle \ell ={\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle m=(1/2)^{1/4}}$ $${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y&=m\sinh {t}\\\end{aligned}}}$$

para la porción de la hipérbola que forma la esquina, dada por el rango de valores de los parámetros $${\displaystyle -{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}.}$$

Las rectas del octágono tangentes a la hipérbola son , y las rectas asintóticas a la hipérbola son simplemente . ${\displaystyle y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)}$ ${\displaystyle y=\pm \ell x}$

Embalaje

Para cada conjunto plano convexo con simetría central, incluido el octágono suavizado, la densidad de empaquetamiento máxima se logra mediante un empaquetamiento de red , en el que las copias no rotadas de la forma se traducen por los vectores de una red. ^[4] El octágono suavizado alcanza su máxima densidad de empaquetamiento, no solo para un solo empaque, sino para una familia de 1 parámetro. Todos estos son empaquetaduras de celosía. ^[5] El octágono suavizado tiene una densidad de empaquetamiento máxima dada por ^{[2] [3]} $${\displaystyle {\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414\,.}$$

Esto es menor que la densidad máxima de empaquetamiento de círculos , que es ^[3] $${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.906899.}$$

La densidad de empaquetamiento máxima conocida del octágono regular ordinario también es ligeramente menor que la densidad de empaquetamiento máxima de los círculos, pero mayor que la del octágono suavizado. ^[6] $${\displaystyle {\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,}$$

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Es el octágono suavizado la forma convexa simétrica centralmente con la densidad de empaquetamiento máxima más baja?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La conjetura de Reinhardt de que el octágono suavizado tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja de todas las formas convexas con simetría central en el plano permanece sin resolver. Sin embargo, Thomas Hales y Koundinya Vajjha afirmaron haber demostrado una conjetura más débil, que afirma que el disco convexo con simetría central más desempaquetable debe ser un polígono suavizado. ^{[7] [8]} Además, Fedor Nazarov proporcionó un resultado parcial al demostrar que el octágono suavizado es un mínimo local para la densidad de empaquetamiento entre formas convexas con simetría central. ^[9]

Si no se requiere simetría central, se conjetura que el heptágono regular tiene una densidad de empaquetamiento aún menor, pero no se ha demostrado ni su densidad de empaquetamiento ni su optimización. En tres dimensiones, la conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que ninguna forma convexa tiene una densidad máxima de empaquetamiento menor que la bola. ^[5]

Referencias

1. Reinhardt, Karl (1934). "Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven". Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo . 10 : 216–230. doi :10.1007/BF02940676. S2CID  120336230.
2. Mahler, Kurt (1947). "Sobre el determinante mínimo y los hexágonos circunscritos de un dominio convexo" (PDF) . Indagaciones Mathematicae . 9 : 326–337. SEÑOR  0021017.
3. Fejes Tóth, László ; Fejes Tóth, Gábor; Kuperberg, Włodzimierz (2023). Lagerungen: disposiciones en el plano, en la esfera y en el espacio . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 360. Cham: Springer. pag. 106. doi :10.1007/978-3-031-21800-2. ISBN 978-3-031-21799-9. SEÑOR  4628019.
4. Fejes Tóth, László (1950). "Algunos teoremas de embalaje y cobertura". Acta Universitatis Szegediensis . 12 : 62–67. SEÑOR  0038086.
5. Kallus, Yoav (2015). "Formas de embalaje pesimales". Geometría y topología . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . doi :10.2140/gt.2015.19.343. SEÑOR  3318753.
6. Atkinson, Steven; Jiao, Yang; Torquato, Salvatore (10 de septiembre de 2012). "Empaquetamientos de máxima densidad de partículas no circulares cóncavas y convexas bidimensionales". Revisión física E. 86 (3): 031302. arXiv : 1405.0245 . Código bibliográfico : 2012PhRvE..86c1302A. doi : 10.1103/physreve.86.031302. PMID  23030907. S2CID  9806947.
7. Hales, Thomas; Vajjha, Koundinya (7 de mayo de 2024). "Empaquetamientos de polígonos suavizados". arXiv : 2405.04331 [matemáticas.OC].
8. Barbero, Gregory (28 de junio de 2024). "¿Por qué es tan terrible empacar esta forma?". Revista Quanta . Consultado el 28 de junio de 2024 .
9. Nazarov, Florida (1986). "Sobre el problema de Reinhardt de los empaquetamientos reticulares de regiones convexas: extremalidad local del octágono de Reinhardt". Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI) . 151 : 104–114, 197–198. doi :10.1007/BF01727653. SEÑOR  0849319.

enlaces externos

• Embalaje de octágonos alisados. John Baez, Visual Insight, Blogs de AMS, 2014.
• ¿El embalaje bidimensional más fino y denso?. Peter Scholl, 2001.