Conjetura de Kaplan-Yorke

En matemáticas aplicadas, la conjetura de Kaplan-Yorke se refiere a la dimensión de un atractor , utilizando exponentes de Lyapunov . ^{[1] [2]} Al ordenar los exponentes de Lyapunov de mayor a menor , sea j el índice más grande para el cual ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}\geqslant 0}$

y

${\displaystyle \sum _{i=1}^{j+1}\lambda _{i}<0.}$

Entonces la conjetura es que la dimensión del atractor es

${\displaystyle D=j+{\frac {\sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}}{|\lambda _{j+1}|}}.}$

Esta idea se utiliza para la definición de la dimensión de Lyapunov . ^[3]

Ejemplos

Especialmente para sistemas caóticos, la conjetura de Kaplan-Yorke es una herramienta útil para estimar la dimensión fractal y la dimensión de Hausdorff del atractor correspondiente. ^{[4] [3]}

• El mapa de Hénon con parámetros a  = 1,4 y b  = 0,3 tiene los exponentes de Lyapunov ordenados y . En este caso, encontramos j  = 1 y la fórmula de dimensión se reduce a ${\displaystyle \lambda _{1}=0.603}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=-2.34}$

${\displaystyle D=j+{\frac {\lambda _{1}}{|\lambda _{2}|}}=1+{\frac {0.603}{|{-2.34}|}}=1.26.}$

• El sistema de Lorenz muestra un comportamiento caótico en los valores de los parámetros , y . Los exponentes de Lyapunov resultantes son {2,16, 0,00, −32,4}. Observando que  j  = 2, encontramos ${\displaystyle \sigma =16}$ ${\displaystyle \rho =45.92}$ ${\displaystyle \beta =4.0}$

${\displaystyle D=2+{\frac {2.16+0.00}{|-32.4|}}=2.07.}$

Referencias

1. Kaplan, J.; Yorke, J. (1979). "Comportamiento caótico de ecuaciones en diferencias multidimensionales" (PDF) . En Peitgen, HO; Walther, HO (eds.). Ecuaciones diferenciales funcionales y aproximación de puntos fijos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 730. Berlín: Springer. págs. 204-227. ISBN 978-0-387-09518-9. SEÑOR  0547989.
2. Frederickson, P.; Kaplan, J.; Yorke, E.; Yorke, J. (1983). "La dimensión Lyapunov de los atractores extraños". J. Dif. Ecuaciones. 49 (2): 185–207. Código Bib : 1983JDE....49..185F. doi : 10.1016/0022-0396(83)90011-6 .
3. Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de las dimensiones del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.
4. Lobo, A.; rápido, A.; Jack, B.; Swinney, HL; Vastano, JA (1985). "Determinación de los exponentes de Lyapunov a partir de una serie temporal". Física D. 16 (3): 285–317. Código bibliográfico : 1985PhyD...16..285W. CiteSeerX 10.1.1.152.3162 . doi :10.1016/0167-2789(85)90011-9. S2CID  14411384.