Problema matemático en teoría de anillos.
En álgebra abstracta , la conjetura de Jacobson es un problema abierto en la teoría de anillos relativo a la intersección de potencias del radical de Jacobson de un anillo noetheriano .
Hasta ahora sólo se ha probado para tipos especiales de anillos noetherianos. Existen ejemplos para mostrar que la conjetura puede fallar cuando el anillo no es noetheriano en un lado, por lo que es absolutamente necesario que el anillo sea noetheriano en dos lados.
La conjetura lleva el nombre del algebraista Nathan Jacobson , quien planteó la primera versión de la conjetura.
Declaración
Para un anillo R con radical de Jacobson J , las potencias no negativas se definen utilizando el producto de ideales .![{\displaystyle J^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Conjetura de Jacobson: en un anillo noetheriano de derecha e izquierda ,
![{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }J^{n}=\{0\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En otras palabras: "El único elemento de un anillo noetheriano en todas las potencias de J es 0".
La conjetura original planteada por Jacobson en 1956 [1] preguntaba sobre anillos noetherianos unilaterales no conmutativos , sin embargo, Israel Nathan Herstein produjo un contraejemplo en 1965, ideal principal de izquierda. dominio . A partir de ese momento, la conjetura se reformuló para requerir anillos noetherianos de dos caras.
Resultados parciales
La conjetura de Jacobson se ha verificado para tipos particulares de anillos noetherianos:
Referencias
- ^ Jacobson, Nathan (1956), Estructura de anillos , Sociedad Matemática Estadounidense, Publicaciones del Coloquio, vol. 37, 190 Hope Street, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , pág. 200, señor 0081264
{{citation}}
: Mantenimiento CS1: ubicación ( enlace ). Según lo citado por Brown, KA; Lenagan, TH (1982), "Una nota sobre la conjetura de Jacobson para los anillos noetherianos derechos", Glasgow Mathematical Journal , 23 (1): 7–8, doi : 10.1017/S0017089500004729 , MR 0641612.
Fuentes
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