Conjetura de Goormaghthigh

En matemáticas , la conjetura de Goormaghtigh es una conjetura de la teoría de números que lleva el nombre del matemático belga René Goormaghtigh . La conjetura es que las únicas soluciones enteras no triviales de la ecuación exponencial diofántica

${\displaystyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$

satisfactorios y son ${\displaystyle x>y>1}$ ${\displaystyle n,m>2}$

${\displaystyle {\frac {5^{3}-1}{5-1}}={\frac {2^{5}-1}{2-1}}=31}$

y

${\displaystyle {\frac {90^{3}-1}{90-1}}={\frac {2^{13}-1}{2-1}}=8191.}$

Resultados parciales

Davenport, Lewis y Schinzel (1961) demostraron que, para cada par de exponentes fijos y , esta ecuación sólo tiene un número finito de soluciones. Pero esta demostración depende del teorema de finitud de Siegel , que es ineficaz. Nesterenko y Shorey (1998) demostraron que, si y con , y , entonces está acotado por una constante efectivamente computable que depende sólo de y . Yuan (2005) demostró que para e impar , esta ecuación no tiene otra solución que las dos soluciones dadas anteriormente. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m-1=dr}$ ${\displaystyle n-1=ds}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle s\geq 1}$ ${\displaystyle \max(x,y,m,n)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x,y,n)}$

Balasubramanian y Shorey demostraron en 1980 que sólo hay un número finito de soluciones posibles para las ecuaciones con divisores primos de y que se encuentran en un conjunto finito dado y que pueden calcularse de manera efectiva. He y Togbé (2008) demostraron que, para cada fijo y , esta ecuación tiene como máximo una solución. Para x fijo (o y ), la ecuación tiene como máximo 15 soluciones, y como máximo dos, a menos que x sea una potencia prima impar multiplicada por una potencia de dos , o en el conjunto finito {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}, en cuyo caso hay como máximo tres soluciones. Además, hay como máximo una solución si la parte impar de x es cuadrada a menos que x tenga como máximo dos factores primos impares distintos o x esté en un conjunto finito {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 3105, , 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}. Si x es una potencia de dos , hay como máximo una solución excepto x=2, en cuyo caso hay dos soluciones conocidas. De hecho, max(m,n)<4^x y y<2^(2^x). ${\displaystyle (x,y,m,n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Aplicación a repunits

La conjetura de Goormaghtigh se puede expresar diciendo que 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) y 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2) son los únicos dos números que son repunitos con al menos 3 dígitos en dos diferentes. bases.

Ver también

• Conjetura de Feit-Thompson

Referencias

• Buenísimo, René. L'Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
• Bugeaud, Y.; Shorey, Tennessee (2002). "Sobre la ecuación diofántica x m − 1 x − 1 = y n − 1 y − 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{m}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}- 1}{y-1}}}" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 207 (1): 61–75. doi : 10.2140/pjm.2002.207.61 .
• Balasubramanian, R .; Shorey, Tennessee (1980). "En la ecuación a ( x m − 1 ) / ( x − 1 ) = b ( y n − 1 ) / ( y − 1 ) {\displaystyle a(x^{m}-1)/(x-1)=b (y^{n}-1)/(y-1)} ". Mathematica Scandinavica . 46 : 177–182. doi : 10.7146/math.scand.a-11861 . Señor  0591599. Zbl  0434.10013.
• Davenport, H.; Lewis, DJ; Schinzel, A. (1961). "Ecuaciones de la forma ". Patio. J. Matemáticas. Oxford . 2 : 304–312. doi :10.1093/qmath/12.1.304. SEÑOR  0137703. ${\displaystyle f(x)=g(y)}$
• Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . pag. 242.ISBN​ 0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.
• Él, Bo; Togbe, Alan (2008). "Sobre el número de soluciones de la ecuación de Goormaghtigh para x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} dados". Indag. Matemáticas . Series nuevas. 19 : 65–72. doi : 10.1016/S0019-3577(08)80015-8 . SEÑOR  2466394.
• Nesterenko, Yu. V .; Shorey, Tennessee (1998). "Sobre una ecuación de Goormaghtigh" (PDF) . Acta Aritmética . LXXXIII (4): 381–389. doi : 10.4064/aa-83-4-381-389 . SEÑOR  1610565. Zbl  0896.11010.
• Shorey, Tennessee; Tijdeman, R. (1986). Ecuaciones diofánticas exponenciales . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 87. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 203-204. ISBN 0-521-26826-5. Zbl  0606.10011.
• Yuan, Pingzhi (2005). "Sobre la ecuación diofántica x 3 − 1 x − 1 = y n − 1 y − 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n} -1}{y-1}}} ". J. Teoría de números . 112 : 20-25. doi : 10.1016/j.jnt.2004.12.002 . SEÑOR  2131139.