Ganancia compleja

En electrónica , la ganancia compleja es el efecto que tiene un circuito sobre la amplitud y la fase de una señal de onda sinusoidal . Se utiliza el término complejo porque matemáticamente este efecto se puede expresar como un número complejo .

Sistemas LTI

Considerando el sistema LTI general ^[1]

${\displaystyle P(D)x=Q(D)f(t)}$

donde es la entrada y se dan los operadores polinómicos, mientras se supone que . En caso de que , una solución particular para la ecuación dada es ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle P(D),Q(D)}$ ${\displaystyle P(s)\neq 0}$ ${\displaystyle f(r)=F_{0}\cos(\omega t)}$

${\displaystyle x_{p}(t)=\operatorname {Re} {\Big (}F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}{\Big )}.}$

Considere los siguientes conceptos utilizados principalmente en física y procesamiento de señales.

${\displaystyle \bullet }$La amplitud de la entrada es . Tiene las mismas unidades que la cantidad de entrada. ${\displaystyle F_{0}}$

${\displaystyle \bullet }$La frecuencia angular de la entrada es . Tiene unidades de radianes/tiempo. A menudo, seremos casuales y nos referiremos a ella como frecuencia, aunque técnicamente la frecuencia debería tener unidades de ciclos/tiempo. ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \bullet }$La amplitud de la respuesta es . Tiene las mismas unidades que la cantidad de respuesta. ${\displaystyle A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$

${\displaystyle \bullet }$La ganancia es . La ganancia es el factor por el que se multiplica la amplitud de entrada para obtener la amplitud de la respuesta. Tiene las unidades necesarias para convertir ${\displaystyle g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$

Unidades de entrada a unidades de salida.

${\displaystyle \bullet }$El desfase es . El desfase tiene unidades de radianes, es decir, no tiene dimensiones. ${\displaystyle \phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))}$

${\displaystyle \bullet }$El desfase temporal es . Tiene unidades de tiempo. Es el tiempo que transcurre entre el pico de salida y el pico de entrada. ${\displaystyle \phi /\omega }$

${\displaystyle \bullet }$La ganancia compleja es . Este es el factor por el que se multiplica la entrada compleja para obtener la salida compleja. ${\displaystyle Q(i\omega )/P(i\omega )}$

Ejemplo

Supongamos que un circuito tiene un voltaje de entrada descrito por la ecuación

${\displaystyle V_{i}(t)=1\ V\cdot \sin(\omega \cdot t)}$

donde ω es igual a 2π×100 Hz, es decir, la señal de entrada es una onda sinusoidal de 100 Hz con una amplitud de 1 voltio.

Si el circuito es tal que para esta frecuencia duplica la amplitud de la señal y provoca un desplazamiento de fase hacia adelante de 90 grados, entonces su señal de salida se puede describir por

${\displaystyle V_{o}(t)=2\ V\cdot \cos(\omega \cdot t)}$

En notación compleja, estas señales pueden describirse como, para esta frecuencia, j ·1 V y 2 V, respectivamente.

La ganancia compleja G de este circuito se calcula dividiendo la salida por la entrada:

${\displaystyle G={\frac {2\ V}{j\cdot 1\ V}}=-2j.}$

Este número complejo (sin unidades) incorpora tanto la magnitud del cambio en amplitud (como valor absoluto ) como el cambio de fase (como argumento ).

Referencias

1. Miller, Haynes; Orloff, Jeremy. "Edificaciones ordinarias ordinarias lineales con coeficientes constantes: revisión de 18.03 Clase 1, 18.031" (PDF) . pp. 15–17.