En el campo matemático de la teoría del orden , un conjunto parcialmente ordenado es completo acotado si todos sus subconjuntos que tienen algún límite superior también tienen un límite superior mínimo . Un orden parcial de este tipo también puede llamarse consistentemente o coherentemente completo (Visser 2004, p. 182), ya que cualquier límite superior de un conjunto puede interpretarse como alguna pieza consistente (no contradictoria) de información que extiende toda la información presente en el conjunto. Por lo tanto, la presencia de algún límite superior garantiza de alguna manera la consistencia de un conjunto. La completitud acotada produce entonces la existencia de un límite superior mínimo de cualquier subconjunto "consistente", que puede considerarse como la pieza de información más general que captura todo el conocimiento presente dentro de este subconjunto. Esta visión se relaciona estrechamente con la idea de ordenamiento de la información que uno encuentra típicamente en la teoría de dominios .
Formalmente, un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) es completo y acotado si se cumple lo siguiente para cualquier subconjunto S de P :
La completitud acotada tiene diversas relaciones con otras propiedades de completitud , que se detallan en el artículo sobre completitud en la teoría del orden . El término conjunto parcial acotado se utiliza a veces para referirse a un conjunto parcialmente ordenado que tiene tanto un elemento menor como un elemento mayor . Por lo tanto, es importante distinguir entre un conjunto parcial acotado-completo y un conjunto parcial de orden completo acotado (cpo).
Para un ejemplo típico de un conjunto parcial acotado-completo, considere el conjunto de todos los números decimales finitos que comienzan con "0". (como 0.1, 0.234, 0.122) junto con todos los números infinitos de ese tipo (como la representación decimal 0.1111... de 1/9). Ahora estos elementos pueden ordenarse en función del orden de prefijo de las palabras: un número decimal n está por debajo de algún otro número m si hay alguna cadena de dígitos w tal que n w = m . Por ejemplo, 0.2 está por debajo de 0.234, ya que se puede obtener este último añadiendo la cadena "34" a 0.2. Los números decimales infinitos son los elementos máximos dentro de este orden. En general, los subconjuntos de este orden no tienen límites superiores mínimos: solo considere el conjunto {0.1, 0.3}. Mirando hacia atrás a la intuición anterior, se podría decir que no es consistente asumir que algún número comienza tanto con 0.1 como con 0.3. Sin embargo, el orden sigue siendo completo y acotado. De hecho, es incluso un ejemplo de una clase más especializada de estructuras, los dominios de Scott , que proporcionan muchos otros ejemplos de conjuntos parciales completos y acotados.