Compatibilidad (mecánica)

En mecánica de medios continuos , un campo tensorial de deformación (o tensión ) compatible en un cuerpo es aquel campo tensorial único que se obtiene cuando el cuerpo se somete a un campo de desplazamiento continuo de un solo valor . La compatibilidad es el estudio de las condiciones bajo las cuales se puede garantizar dicho campo de desplazamiento. Las condiciones de compatibilidad son casos particulares de condiciones de integrabilidad y fueron derivadas por primera vez para la elasticidad lineal por Barré de Saint-Venant en 1864 y probadas rigurosamente por Beltrami en 1886. ^[1]

En la descripción continua de un cuerpo sólido, imaginamos que el cuerpo está compuesto por un conjunto de volúmenes infinitesimales o puntos materiales. Se supone que cada volumen está conectado a sus vecinos sin espacios ni superposiciones. Se deben cumplir ciertas condiciones matemáticas para garantizar que no se desarrollen espacios o superposiciones cuando se deforma un cuerpo continuo. Un cuerpo que se deforma sin desarrollar espacios o superposiciones se denomina cuerpo compatible . Las condiciones de compatibilidad son condiciones matemáticas que determinan si una deformación particular dejará a un cuerpo en un estado compatible. ^[2]

En el contexto de la teoría de deformaciones infinitesimales , estas condiciones son equivalentes a afirmar que los desplazamientos en un cuerpo pueden obtenerse integrando las deformaciones . Tal integración es posible si el tensor de Saint-Venant (o tensor de incompatibilidad) se anula en un cuerpo simplemente conexo ^[3] donde es el tensor de deformaciones infinitesimales y ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}~.}$

Para deformaciones finitas las condiciones de compatibilidad toman la forma

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$

¿Dónde está el gradiente de deformación ? ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Condiciones de compatibilidad para deformaciones infinitesimales

Las condiciones de compatibilidad en elasticidad lineal se obtienen observando que existen seis relaciones deformación-desplazamiento que son funciones de sólo tres desplazamientos desconocidos. Esto sugiere que los tres desplazamientos pueden eliminarse del sistema de ecuaciones sin pérdida de información. Las expresiones resultantes en términos únicamente de las deformaciones proporcionan restricciones sobre las posibles formas de un campo de deformaciones.

2 dimensiones

Para problemas de deformación plana bidimensionales, las relaciones de deformación-desplazamiento son

${\displaystyle \varepsilon _{11}={\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}~;~~\varepsilon _{12}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right]~;~~\varepsilon _{22}={\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}}$

La diferenciación repetida de estas relaciones, con el fin de eliminar los desplazamientos y , nos da la condición de compatibilidad bidimensional para las deformaciones ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{11}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{22}}{\partial x_{1}^{2}}}=0}$

El único campo de desplazamiento que permite un campo de deformación plana compatible es un campo de desplazamiento plano , es decir, . ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (x_{1},x_{2})}$

3 dimensiones

En tres dimensiones, además de dos ecuaciones más de la forma vista para dos dimensiones, hay tres ecuaciones más de la forma

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{33}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}={\cfrac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\cfrac {\partial \varepsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial \varepsilon _{31}}{\partial x_{2}}}-{\cfrac {\partial \varepsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right]}$

Por lo tanto, hay 3 ⁴ = 81 ecuaciones diferenciales parciales, pero debido a las condiciones de simetría, este número se reduce a seis condiciones de compatibilidad diferentes. Podemos escribir estas condiciones en notación de índice como ^[4]

${\displaystyle e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}=0}$

donde es el símbolo de permutación . En notación tensorial directa ${\displaystyle e_{ijk}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$

donde el operador curl se puede expresar en un sistema de coordenadas ortonormal como . ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}\varepsilon _{rj,i}\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{r}}$

El tensor de segundo orden

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}~;~~R_{rs}:=e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}}$

se conoce como tensor de incompatibilidad y es equivalente al tensor de compatibilidad de Saint-Venant

Condiciones de compatibilidad para deformaciones finitas

Para los sólidos en los que no se requiere que las deformaciones sean pequeñas, las condiciones de compatibilidad toman la forma

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$

donde es el gradiente de deformación . En términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas podemos escribir estas relaciones de compatibilidad como ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle e_{ABC}~{\cfrac {\partial F_{iB}}{\partial X_{A}}}=0}$

Esta condición es necesaria si la deformación debe ser continua y derivarse de la aplicación (véase la teoría de deformaciones finitas ). La misma condición también es suficiente para asegurar la compatibilidad en un cuerpo simplemente conexo . ${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} ,t)}$

Condición de compatibilidad para el tensor de deformación de Cauchy-Green correcto

La condición de compatibilidad para el tensor de deformación de Cauchy-Green correcto se puede expresar como

${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$

donde es el símbolo de Christoffel de segundo tipo . La cantidad representa los componentes mixtos del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ ${\displaystyle R_{ijk}^{m}}$

El problema general de compatibilidad

El problema de compatibilidad en mecánica de medios continuos implica la determinación de campos continuos univalentes admisibles en cuerpos simplemente conexos. Más precisamente, el problema puede plantearse de la siguiente manera: ^[5]

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

Consideremos la deformación de un cuerpo que se muestra en la Figura 1. Si expresamos todos los vectores en términos del sistema de coordenadas de referencia , el desplazamiento de un punto en el cuerpo está dado por ${\displaystyle \{(\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2},\mathbf {E} _{3}),O\}}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {x} -\mathbf {X} ~;~~u_{i}=x_{i}-X_{i}}$

También

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {X} }}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}}$

¿Qué condiciones en un campo tensorial de segundo orden dado sobre un cuerpo son necesarias y suficientes para que exista un campo vectorial único que satisfaga? ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {X} )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} ={\boldsymbol {A}}\quad \equiv \quad v_{i,j}=A_{ij}}$

Condiciones necesarias

Para las condiciones necesarias suponemos que el campo existe y satisface . Entonces ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v_{i,j}=A_{ij}}$

${\displaystyle v_{i,jk}=A_{ij,k}~;~~v_{i,kj}=A_{ik,j}}$

Dado que cambiar el orden de diferenciación no afecta el resultado que tenemos

${\displaystyle v_{i,jk}=v_{i,kj}}$

Por eso

${\displaystyle A_{ij,k}=A_{ik,j}}$

De la identidad bien conocida para el rotacional de un tensor obtenemos la condición necesaria

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$

Condiciones suficientes

Figura 2. Rutas de integración utilizadas para demostrar las condiciones de suficiencia para la compatibilidad.

Para demostrar que esta condición es suficiente para garantizar la existencia de un campo tensorial de segundo orden compatible, comenzamos con el supuesto de que existe un campo tal que . Integraremos este campo para encontrar el campo vectorial a lo largo de una línea entre los puntos y (ver Figura 2), es decir, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {v} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot ~d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )\cdot d\mathbf {X} }$

Si el campo vectorial debe tener un solo valor, entonces el valor de la integral debe ser independiente del camino tomado para ir de a . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Del teorema de Stokes , la integral de un tensor de segundo orden a lo largo de una trayectoria cerrada está dada por

${\displaystyle \oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =\int _{\Omega }\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})~da}$

Suponiendo que el rizo de es cero, obtenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle \oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =0\quad \implies \quad \int _{AB}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} +\int _{BA}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} =0}$

Por lo tanto, la integral es independiente del camino y la condición de compatibilidad es suficiente para asegurar un campo único, siempre que el cuerpo esté simplemente conexo. ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Compatibilidad del gradiente de deformación

La condición de compatibilidad para el gradiente de deformación se obtiene directamente de la prueba anterior observando que

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x} }$

Entonces las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un campo compatible sobre un cuerpo simplemente conexo son ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$

Compatibilidad de deformaciones infinitesimales

El problema de compatibilidad para cepas pequeñas puede enunciarse de la siguiente manera.

Dado un campo tensorial simétrico de segundo orden, ¿cuándo es posible construir un campo vectorial tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$

Condiciones necesarias

Supongamos que existe tal que se cumple la expresión para . Ahora ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}}$

dónde

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$

Por lo tanto, en notación de índice,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\omega }}\equiv \omega _{ij,k}={\frac {1}{2}}(u_{i,jk}-u_{j,ik})={\frac {1}{2}}(u_{i,jk}+u_{k,ji}-u_{j,ik}-u_{k,ji})=\varepsilon _{ik,j}-\varepsilon _{jk,i}}$

Si es continuamente diferenciable tenemos . Por lo tanto, ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega _{ij,kl}=\omega _{ij,lk}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ik,jl}-\varepsilon _{jk,il}-\varepsilon _{il,jk}+\varepsilon _{jl,ik}=0}$

En notación tensorial directa

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$

Las anteriores son condiciones necesarias. Si es el vector de rotación infinitesimal entonces . Por lo tanto, la condición necesaria también puede escribirse como . ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T})^{T}={\boldsymbol {0}}}$

Condiciones suficientes

Supongamos ahora que la condición se cumple en una porción de un cuerpo. ¿Es esta condición suficiente para garantizar la existencia de un campo de desplazamiento continuo y univalente ? ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

El primer paso del proceso es demostrar que esta condición implica que el tensor de rotación infinitesimal está definido de manera única. Para ello, integramos a lo largo del camino hasta , es decir, ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{B}}$

${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} }$

Tenga en cuenta que necesitamos conocer una referencia para fijar la rotación del cuerpo rígido. El campo se determina de forma única solo si la integral de contorno a lo largo de un contorno cerrado entre y es cero, es decir, ${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})}$ ${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{b}}$

${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} ={\boldsymbol {0}}}$

Pero del teorema de Stokes para un cuerpo simplemente conexo y la condición necesaria para la compatibilidad

${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})~da={\boldsymbol {0}}}$

Por lo tanto, el campo está definido de forma única, lo que implica que el tensor de rotación infinitesimal también está definido de forma única, siempre que el cuerpo esté simplemente conexo. ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

En el siguiente paso del proceso consideraremos la unicidad del campo de desplazamiento . Como antes, integramos el gradiente de desplazamiento. ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {u} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} }$

Del teorema de Stokes y utilizando las relaciones tenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} =-{\boldsymbol {\nabla }}\times \omega }$

${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\omega }})~da={\boldsymbol {0}}}$

Por lo tanto, el campo de desplazamientos también está determinado de forma única. Por lo tanto, las condiciones de compatibilidad son suficientes para garantizar la existencia de un campo de desplazamientos único en un cuerpo simplemente conexo. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Compatibilidad para el campo de deformación Cauchy-Green derecho

El problema de compatibilidad para el campo de deformación de Cauchy-Green derecho se puede plantear de la siguiente manera.

Problema: Sea un cuerpo tensorial simétrico definido positivo en la configuración de referencia. ¿Bajo qué condiciones en existe una configuración deformada marcada por el cuerpo de posición tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

${\displaystyle (1)\quad \left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)^{T}\left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)={\boldsymbol {C}}}$

Condiciones necesarias

Supóngase que existe un campo que satisface la condición (1). En términos de componentes con respecto a una base cartesiana rectangular ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$

De la teoría de la deformación finita sabemos que . Por lo tanto, podemos escribir ${\displaystyle C_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \delta _{ij}~{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=g_{\alpha \beta }}$

Para dos campos tensoriales simétricos de segundo orden que se asignan uno a uno, también tenemos la relación

${\displaystyle G_{ij}={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }}$

De la relación entre de y que , tenemos ${\displaystyle G_{ij}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=G_{ij}}$

${\displaystyle _{(x)}\Gamma _{ij}^{k}=0}$

Entonces, de la relación

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial X^{\alpha }\partial X^{\beta }}}={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\mu }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}}$

tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\qquad ;~~F_{~\alpha }^{i}:={\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}}$

De la teoría de la deformación finita también tenemos

${\displaystyle _{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)~;~~_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }=g^{\nu \gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }~;~~g^{\alpha \beta }=C^{\alpha \beta }}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }={\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$

y nosotros tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}~{\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$

Nuevamente, utilizando la naturaleza conmutativa del orden de diferenciación, tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }\partial X^{\rho }}}={\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\rho }\partial X^{\beta }}}\implies {\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\rho }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }]={\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }]}$

o

${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }]=F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }]}$

Después de recopilar los términos obtenemos

${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\left(\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]\right)=0}$

De la definición de observamos que es invertible y por lo tanto no puede ser cero. Por lo tanto, ${\displaystyle F_{\gamma }^{m}}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$

Podemos demostrar que estos son los componentes mixtos del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel . Por lo tanto, las condiciones necesarias para la compatibilidad son que la curvatura de Riemann-Christoffel de la deformación sea cero. ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Condiciones suficientes

La prueba de suficiencia es un poco más compleja. ^{[5] [6]} Comenzamos con el supuesto de que

${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }}$

Tenemos que demostrar que existen y que tales ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$

A partir de un teorema de TYThomas ^[7] sabemos que el sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{i}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\gamma }^{i}~\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

Tiene soluciones únicas sobre dominios simplemente conectados si ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$

${\displaystyle _{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=_{(X)}\Gamma _{\beta \alpha }^{\gamma }~;~~R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0}$

La primera de ellas es cierta a partir de la definición de y la segunda se supone. Por lo tanto, la condición supuesta nos da una única que es continua. ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Consideremos a continuación el sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}=F_{~\alpha }^{i}}$

Como y el cuerpo está simplemente conectado , existe alguna solución para las ecuaciones anteriores. Podemos demostrar que también satisfacen la propiedad de que ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle x^{i}(X^{\alpha })}$ ${\displaystyle x^{i}}$

${\displaystyle \det \left|{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}\right|\neq 0}$

También podemos demostrar que la relación

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~g^{\alpha \beta }~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=\delta ^{ij}}$

implica que

${\displaystyle g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }={\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\beta }}}}$

Si asociamos estas cantidades con campos tensoriales podemos demostrar que es invertible y el campo tensorial construido satisface la expresión para . ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Véase también

• Condición de compatibilidad de Saint-Venant
• Elasticidad lineal
• Deformación (mecánica)
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Teoría de la deformación finita
• Derivada tensorial (mecánica del medio continuo)
• Coordenadas curvilíneas

Referencias

1. C Amrouche, PG Ciarlet , L Gratie, S Kesavan, Sobre las condiciones de compatibilidad de Saint Venant y el lema de Poincaré, CR Acad. Ciencia. París, Ser. I, 342 (2006), 887-891. doi :10.1016/j.crma.2006.03.026
2. Barber, JR, 2002, Elasticidad - 2da Ed., Kluwer Academic Publications.
3. NI Muskhelishvili, Algunos problemas básicos de la teoría matemática de la elasticidad. Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1975.
4. Slaughter, WS, 2003, La teoría linealizada de la elasticidad , Birkhauser
5. Acharya, A., 1999, Sobre las condiciones de compatibilidad para el campo de deformación de Cauchy-Green izquierdo en tres dimensiones , Journal of Elasticity, volumen 56, número 2, 95-105
6. Blume, JA, 1989, "Condiciones de compatibilidad para un campo de deformación de Cauchy-Green izquierdo", J. Elasticity, v. 21, p. 271-308.
7. Thomas, TY, 1934, "Sistemas de ecuaciones diferenciales totales definidos sobre dominios simplemente conexos", Anales de Matemáticas, 35(4), pág. 930-734

Enlaces externos

• Notas de Amit Acharya sobre compatibilidad en iMechanica
• Plasticidad de J. Lubliner, sec. 1.2.4 p. 35