número pronico

Un número pronico es un número que es producto de dos números enteros consecutivos , es decir, un número de la forma . ^[1] El estudio de estos números se remonta a Aristóteles . También se les llama números oblongos , números heteromécicos , ^[2] o números rectangulares ; ^[3] sin embargo, el término "número rectangular" también se ha aplicado a los números compuestos . ^{[4] [5]} ${\displaystyle n(n+1)}$

Los primeros números pronicos son:

, 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462… (secuencia A002378 en el OEIS ).

Denotando el número pronico , tenemos . Por lo tanto, al analizar los números pronicos, podemos suponer que, sin pérdida de generalidad , se adopta una convención en las siguientes secciones. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle P_{{-}n}=P_{n{-}1}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Como números figurados

El doble de un número triangular es un número pronico

El enésimo número pronico es n mayor que el enésimo número cuadrado

Los números pronicos fueron estudiados como números figurados junto con los números triangulares y cuadrados en la Metafísica de Aristóteles , ^[2] y su descubrimiento se ha atribuido mucho antes a los pitagóricos . ^[3] Como una especie de número figurado, los números pronicos a veces se denominan oblongos ^[2] porque son análogos a los números poligonales en este sentido: ^[1]

El enésimo número pronico es la suma de los primeros n enteros pares y, como tal, es el doble del enésimo número triangular ^{[1] [2]} y n más que el enésimo número cuadrado , como lo indica la fórmula alternativa n ² + n para números pronicos. El n- ésimo número pronico es también la diferencia entre el cuadrado impar (2 n + 1) ² y el ( n +1) número hexagonal centrado .

Dado que el número de entradas fuera de la diagonal en una matriz cuadrada es el doble de un número triangular, es un número pronico. ^[6]

Suma de números pronicos

La suma parcial de los primeros n números pronicos positivos es el doble del valor del enésimo número tetraédrico :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}}$.

La suma de los recíprocos de los números pronicos positivos (excluyendo 0) es una serie telescópica que suma 1: ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1}$.

La suma parcial de los primeros n términos de esta serie es ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}}$.

La suma alterna de los recíprocos de los números pronicos positivos (excluido el 0) es una serie convergente :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1}$.

Propiedades adicionales

Los números pronicos son pares y 2 es el único número pronico primo . También es el único número pronico de la secuencia de Fibonacci y el único número pronico de Lucas . ^{[8] [9]}

La media aritmética de dos números pronicos consecutivos es un número cuadrado :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}}$

Entonces hay un cuadrado entre dos números pronicos consecutivos. Es único, ya que

${\displaystyle n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.}$

Otra consecuencia de esta cadena de desigualdades es la siguiente propiedad. Si m es un número pronico, entonces se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.}$

El hecho de que los números enteros consecutivos sean coprimos y que un número pronico sea el producto de dos números enteros consecutivos conduce a una serie de propiedades. Cada factor primo distinto de un número pronico está presente en solo uno de los factores n o n + 1 . Por tanto, un número pronico está libre de cuadrados si y sólo si n y n + 1 también están libres de cuadrados. El número de factores primos distintos de un número pronico es la suma del número de factores primos distintos de n y n + 1 .

Si se añade 25 a la representación decimal de cualquier número pronico, el resultado es un número cuadrado, el cuadrado de un número que termina en 5; por ejemplo, 625 = 25 ² y 1225 = 35 ² . Esto es así porque

${\displaystyle 100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}}$.

Referencias

1. Conway, JH ; Guy, RK (1996), El libro de los números , Nueva York: Copernicus, Figura 2.15, p. 34.
2. Knorr, Wilbur Richard (1975), La evolución de los elementos euclidianos, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co., págs. 144-150, ISBN 90-277-0509-7, señor  0472300.
3. Ben-Menahem, Ari (2009), Enciclopedia histórica de ciencias naturales y matemáticas, volumen 1, referencia de Springer, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9783540688310.
4. "Plutarco, De Iside et Osiride, sección 42", www.perseus.tufts.edu , consultado el 16 de abril de 2018
5. Higgins, Peter Michael (2008), Historia numérica: del conteo a la criptografía, Copernicus Books, p. 9, ISBN 9781848000018.
6. Rummel, Rudolf J. (1988), Análisis factorial aplicado, Northwestern University Press, pág. 319, ISBN 9780810108240.
7. Frantz, Marc (2010), "La serie telescópica en perspectiva", en Diefenderfer, Caren L .; Nelsen, Roger B. (eds.), The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond , Materiales de recursos para el aula, Asociación Matemática de América, págs. 467–468, ISBN 9780883857618.
8. McDaniel, Wayne L. (1998), "Números de Pronic Lucas" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60–62, MR  1605345, archivado desde el original (PDF) el 5 de julio de 2017 , recuperado en 2011 -05-21.
9. McDaniel, Wayne L. (1998), "Números pronic de Fibonacci" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 56–59, MR  1605341.