Combinatoria: The Rota Way es un libro de texto de matemáticas sobre combinatoria algebraica , basado en las conferencias y apuntes de Gian-Carlo Rota en sus cursos en el Instituto de Tecnología de Massachusetts . Fue redactado en forma de libro por Joseph PS Kung y Catherine Yan , dos de los estudiantes de Rota, [1] [2] y publicado en 2009 por Cambridge University Press en su serie de libros Cambridge Mathematical Library, enumerando a Kung, Rota y Yan como sus autores (diez años póstumamente en el caso de Rota). [3] El Comité de Lista de Bibliotecas Básicas de la Asociación Matemática de América ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [4]
Combinatoria: The Rota Way tiene seis capítulos, densamente repletos de material: [5] cada uno podría ser "una base para un curso a nivel de doctorado". [6] El Capítulo 1, "Conjuntos, funciones y relaciones", también incluye material sobre conjuntos parcialmente ordenados , órdenes reticulares , entropía (formulada en términos de particiones de un conjunto ) y probabilidad . [1] [3] [6] Los temas del Capítulo 2, "Teoría de coincidencias", así como coincidencias en gráficos , incluyen matrices de incidencia , funciones de conjuntos submodulares , coincidencias independientes en matroides , el teorema de Birkhoff-von Neumann en el politopo de Birkhoff de matrices doblemente estocásticas y el teorema de Gale-Ryser sobre sumas de filas y columnas de matrices (0,1) . [1] [3] El capítulo 3 vuelve a conjuntos y redes parcialmente ordenados, incluido material sobre funciones de Möbius de álgebras de incidencia , el teorema de Sperner sobre anticadenas en conjuntos de potencias, clases especiales de redes, anillos de valoración y el teorema de Dilworth sobre particiones en cadenas. [1]
Una de las cosas por las que Rota se hizo conocida, en la década de 1970, fue el resurgimiento del cálculo umbral como técnica general para la manipulación formal de series de potencias y funciones generadoras , [3] y este es el tema del Capítulo 4. Otros temas en Este capítulo incluye secuencias de polinomios de Sheffer y la función zeta de Riemann y su interpretación combinatoria. [1] [6] El capítulo 5 trata sobre funciones simétricas y álgebras de Rota-Baxter , incluidas funciones simétricas sobre cuerpos finitos . [1] El capítulo 6, "Determinantes, matrices y polinomios", concluye el libro con material que incluye las raíces de los polinomios , el teorema de Grace-Walsh-Szegő , los espectros de matrices totalmente positivas y la teoría invariante formulada en términos del umbral. cálculo. [ dieciséis]
Cada capítulo concluye con una discusión de la historia de los problemas que cubre y con sugerencias de la literatura sobre estos problemas. También se incluyen al final del libro soluciones a algunos de los "ejercicios" proporcionados al final de cada capítulo, [1] cada uno de los cuales podría ser (y a menudo es) la base de una publicación de investigación, [6] y que Conecte el material de los capítulos con algunas de sus aplicaciones. [5]
Combinatoria: The Rota Way es demasiado avanzado para estudiantes universitarios, pero podría usarse como base para uno o más cursos de matemáticas de posgrado. [6] Sin embargo, incluso como matemática practicante en combinatoria, la crítica Jennifer Quinn encontró que el libro era difícil de llevar, a pesar de los muchos temas de interés para ella que cubría. Ella escribe que se sintió "insatisfecha como lectora", "atascada en detalles técnicos" y que le faltaba una imagen unificada de la combinatoria tal como la veía Rota, [7] a pesar de que una imagen unificada de la combinatoria era exactamente lo que Rota a menudo buscaba. en su propia investigación. [3] [5] Sin embargo, Quinn elogia el libro como "una excelente referencia" para algunas hermosas matemáticas. [7]
Al igual que Quinn, John Mount se queja de que partes del libro no están motivadas y carecen de ejemplos y aplicaciones, "como un tratamiento comprimido de Bourbaki de las matemáticas discretas". También escribe que algunos de los ejercicios, como uno que pide una reprobación del teorema de Robertson-Seymour en grafos menores (sin una guía para su demostración original, que se extendió a lo largo de una serie de aproximadamente 20 artículos) son "innecesariamente crueles". Sin embargo, recomienda Combinatorics: The Rota Way a estudiantes e investigadores que ya hayan visto los temas que presenta, como una segunda fuente "para un tratamiento alternativo y poderoso del tema". [5] Alessandro Di Bucchianico también escribe que "no es del todo positivo" acerca del libro, quejándose de sus "filas interminables de definiciones, afirmaciones y pruebas" sin un hilo conductor o motivación. Concluye que, aunque es un buen libro para encontrar una descripción clara de las piezas matemáticas favoritas de Rota y sus demostraciones, falta el entusiasmo y el sentido de unidad que el propio Rota aportó al tema. [2]
Por otro lado, Michael Berg revisa el libro de manera más positiva, calificando su escritura como "nítida y elegante", sus ejercicios profundos, "importantes y fascinantes", sus apartes históricos "divertidos" y el libro en general "simplemente demasiado bueno para dejarlo pasar". ". [4]
{{citation}}: Mantenimiento CS1: publicación periódica sin título ( enlace ){{citation}}: Mantenimiento CS1: publicación periódica sin título ( enlace ){{citation}}: Mantenimiento CS1: publicación periódica sin título ( enlace ){{citation}}: Mantenimiento CS1: publicación periódica sin título ( enlace )