Combinatorics: The Rota Way es un libro de texto de matemáticas sobre combinatoria algebraica , basado en las conferencias y notas de las conferencias de Gian-Carlo Rota en sus cursos en el Instituto Tecnológico de Massachusetts . Fue puesto en forma de libro por Joseph PS Kung y Catherine Yan , dos de los estudiantes de Rota, [1] [2] y publicado en 2009 por Cambridge University Press en su serie de libros Cambridge Mathematical Library, enumerando a Kung, Rota y Yan como sus autores (diez años póstumamente en el caso de Rota). [3] El Comité de Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de Estados Unidos ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [4]
Combinatorics: The Rota Way tiene seis capítulos, densamente repletos de material: [5] cada uno podría ser "una base para un curso a nivel de doctorado". [6] El Capítulo 1, "Conjuntos, funciones y relaciones", también incluye material sobre conjuntos parcialmente ordenados , órdenes reticulares , entropía (formulada en términos de particiones de un conjunto ) y probabilidad . [1] [3] [6] Los temas del Capítulo 2, "Teoría de emparejamientos", así como emparejamientos en grafos , incluyen matrices de incidencia , funciones de conjuntos submodulares , emparejamientos independientes en matroides , el teorema de Birkhoff-von Neumann sobre el politopo de Birkhoff de matrices doblemente estocásticas y el teorema de Gale-Ryser sobre sumas de filas y columnas de matrices (0,1) . [1] [3] El capítulo 3 vuelve a los conjuntos y redes parcialmente ordenados, incluyendo material sobre las funciones de Möbius de las álgebras de incidencia , el teorema de Sperner sobre anticadenas en conjuntos de potencia, clases especiales de redes, anillos de valoración y el teorema de Dilworth sobre particiones en cadenas. [1]
Una de las cosas por las que Rota se hizo conocida, en la década de 1970, fue el resurgimiento del cálculo umbral como una técnica general para la manipulación formal de series de potencias y funciones generadoras , [3] y este es el tema del Capítulo 4. Otros temas en este capítulo incluyen secuencias de polinomios de Sheffer y la función zeta de Riemann y su interpretación combinatoria. [1] [6] El Capítulo 5 trata sobre funciones simétricas y álgebras de Rota-Baxter , incluidas funciones simétricas sobre cuerpos finitos . [1] El Capítulo 6, "Determinantes, matrices y polinomios", concluye el libro con material que incluye las raíces de polinomios , el teorema de Grace-Walsh-Szegő , los espectros de matrices totalmente positivas y la teoría invariante formulada en términos del cálculo umbral. [1] [6]
Cada capítulo concluye con un análisis de la historia de los problemas que trata y con referencias a la literatura sobre estos problemas. También se incluyen al final del libro soluciones a algunos de los "ejercicios" que se ofrecen al final de cada capítulo, [1] cada uno de los cuales podría ser (y a menudo lo es) la base de una publicación de investigación, [6] y que conectan el material de los capítulos con algunas de sus aplicaciones. [5]
Combinatorics: The Rota Way es demasiado avanzado para estudiantes de grado, pero podría usarse como base para uno o más cursos de matemáticas de nivel de posgrado. [6] Sin embargo, incluso como matemática practicante en combinatoria, la revisora Jennifer Quinn encontró el libro difícil de leer, a pesar de los muchos temas de interés para ella que cubría. Escribe que se sintió "insatisfecha como lectora", "empantada en detalles técnicos" y extrañando una imagen unificada de la combinatoria tal como la veía Rota, [7] a pesar de que una imagen unificada de la combinatoria era exactamente lo que Rota a menudo buscaba en su propia investigación. [3] [5] Sin embargo, Quinn elogia el libro como "una excelente referencia" para algunas matemáticas hermosas. [7]
Al igual que Quinn, John Mount se queja de que algunas partes del libro carecen de motivación y de ejemplos y aplicaciones, "como un tratamiento comprimido de las matemáticas discretas al estilo Bourbaki ". También escribe que algunos de los ejercicios, como uno que pide una reprobación del teorema de Robertson-Seymour sobre los menores de grafos (sin una guía para su prueba original, que se extendió a lo largo de una serie de aproximadamente 20 artículos) son "innecesariamente crueles". Sin embargo, recomienda Combinatorics: The Rota Way a los estudiantes e investigadores que ya han visto los temas que presenta, como una segunda fuente "para un tratamiento alternativo y poderoso del tema". [5] Alessandro Di Bucchianico también escribe que "no es del todo positivo" sobre el libro, quejándose de sus "interminables filas de definiciones, afirmaciones y pruebas" sin un hilo conductor o motivación. Concluye que, aunque es un buen libro para encontrar una descripción clara de las piezas de matemáticas favoritas de Rota y sus pruebas, le falta el entusiasmo y el sentido de unidad que el propio Rota aportó al tema. [2]
Por otra parte, Michael Berg reseña el libro de forma más positiva, calificando su escritura de "nítida y elegante", sus ejercicios de "profundos, importantes y fascinantes", sus comentarios históricos de "divertidos" y el libro en general de "simplemente demasiado bueno para dejarlo pasar". [4]
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