Coeficiente de restitución

En física, el coeficiente de restitución ( COR , también denotado por e ), puede considerarse como una medida de la elasticidad de una colisión entre dos cuerpos. Es un parámetro adimensional definido como la relación entre la velocidad relativa de separación después de una colisión de dos cuerpos y la velocidad relativa de aproximación antes de la colisión. En la mayoría de las colisiones del mundo real, el valor de e se encuentra en algún lugar entre 0 y 1, donde 1 representa una colisión perfectamente elástica (en la que los objetos rebotan sin pérdida de velocidad pero en direcciones opuestas) y 0 una colisión perfectamente inelástica (en la que los objetos no rebotan en absoluto y terminan tocándose). La ecuación básica, a veces conocida como ecuación de restitución de Newton, fue desarrollada por Sir Isaac Newton en 1687. ^[1] ${\text{Coeficiente de restitución}}(e)={\frac {\left|{\text{Velocidad relativa de separación después de la colisión}}\right|}{\left|{\text{Velocidad relativa de aproximación antes de la colisión}}\right|}}$

Introducción

Como propiedad de objetos emparejados

El coeficiente de restitución (COR) es una propiedad de un par de objetos en una colisión, no de un objeto único. Si un objeto dado choca con dos objetos diferentes, cada colisión tiene su propio COR. Cuando se describe que un objeto único tiene un coeficiente de restitución dado, como si fuera una propiedad intrínseca sin referencia a un segundo objeto, se han hecho algunas suposiciones; por ejemplo, que la colisión es con otro objeto idéntico o con una pared perfectamente rígida.

Tratado como una constante

En un análisis básico de colisiones, e se considera generalmente como una constante adimensional, independiente de la masa y las velocidades relativas de los dos objetos, y la colisión se considera efectivamente instantánea. Un ejemplo que se utiliza a menudo para la enseñanza es la colisión de dos bolas de billar idealizadas . Las interacciones del mundo real pueden ser más complicadas, por ejemplo, cuando se debe tener en cuenta la estructura interna de los objetos o cuando se producen efectos más complejos durante el tiempo entre el contacto inicial y la separación final.

Rango de valores parami

e suele ser un número real positivo entre 0 y 1:

e = 0 : Se trata de una colisión perfectamente inelástica en la que los objetos no rebotan en absoluto y terminan tocándose.
0 < e < 1 : Se trata de una colisión inelástica del mundo real , en la que se disipa cierta energía cinética. Los objetos rebotan con una velocidad de separación menor que la velocidad de aproximación.
e = 1 : Se trata de una colisión perfectamente elástica , en la que no se disipa energía cinética. Los objetos rebotan con la misma velocidad relativa con la que se aproximaron.

En principio, son posibles valores fuera de ese rango, aunque en la práctica normalmente no se analizarían con un análisis básico que toma e como una constante:

e < 0 : Un COR menor que cero implica una colisión en la que los objetos pasan uno a través del otro, por ejemplo una bala que pasa a través de un objetivo.
e > 1 : Esto implica una colisión superelástica en la que los objetos rebotan con una velocidad relativa mayor que la velocidad de aproximación, debido a que se libera cierta energía almacenada adicional durante la colisión.

Ecuaciones

En el caso de una colisión unidimensional que involucra dos objetos idealizados, A y B, el coeficiente de restitución viene dado por: donde: $e={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},$

$v_{\text{a}}$ es la velocidad final del objeto A después del impacto
$v_{\text{b}}$ es la velocidad final del objeto B después del impacto
$u_{\text{a}}$ es la velocidad inicial del objeto A antes del impacto
$u_{\text{b}}$ es la velocidad inicial del objeto B antes del impacto

Esto a veces se conoce como ecuación de restitución . Para una colisión perfectamente elástica, e = 1 y los objetos rebotan con la misma velocidad relativa con la que se aproximaron. Para una colisión perfectamente inelástica , e = 0 y los objetos no rebotan en absoluto.

Para un objeto que rebota en un objetivo estacionario, e se define como la relación entre la velocidad de rebote del objeto después del impacto y la velocidad anterior al impacto: donde $e={\frac {v}{u}},$

${\estilo de visualización u}$ es la velocidad del objeto antes del impacto
${\estilo de visualización v}$ es la velocidad del objeto que rebota (en la dirección opuesta) después del impacto

En un caso en el que se pueden descuidar las fuerzas de fricción y el objeto se deja caer desde el reposo sobre una superficie horizontal, esto es equivalente a: donde $e={\sqrt {\frac {h}{H}}},$

${\estilo de visualización H}$ ¿Es la altura de caída?
${\estilo de visualización h}$ ¿Cuál es la altura del rebote?

El coeficiente de restitución puede considerarse como una medida del grado en que se conserva la energía cuando un objeto rebota en una superficie. En el caso de un objeto que rebota en un objetivo estacionario, el cambio en la energía potencial gravitatoria , E _p , durante el curso del impacto es esencialmente cero; por lo tanto, e es una comparación entre la energía cinética, E _k , del objeto inmediatamente antes del impacto con la inmediatamente después del impacto: En los casos en los que se pueden descuidar las fuerzas de fricción (casi todos los laboratorios de estudiantes sobre este tema ^[2] ), y el objeto se deja caer desde el reposo sobre una superficie horizontal, lo anterior es equivalente a una comparación entre la E _p del objeto a la altura de caída con la de la altura de rebote. En este caso, el cambio en E _k es cero (el objeto está esencialmente en reposo durante el curso del impacto y también está en reposo en el vértice del rebote); por lo tanto: $e={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (después del impacto)}}}{E_{\text{k, (antes del impacto)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}$ $e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (a la altura del rebote)}}}{E_{\text{p, (a la altura de la caída)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}$

Velocidades después del impacto

Aunque e no varía con las masas de los objetos en colisión, sus velocidades finales dependen de la masa debido a la conservación del momento : y donde $v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}e(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$ $v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$

$v_{\text{a}}$ es la velocidad de A después del impacto
$v_{\text{b}}$ es la velocidad de B después del impacto
$u_{\text{a}}$ es la velocidad de A antes del impacto
$u_{\text{b}}$ es la velocidad de B antes del impacto
$m_{\text{a}}$ es la masa de A
$m_{\text{b}}$ es la masa de B

Cuestiones prácticas

Medición

En situaciones prácticas, el coeficiente de restitución entre dos cuerpos puede tener que determinarse experimentalmente, por ejemplo, utilizando la prueba de dureza de rebote de Leeb . En esta prueba se utiliza una punta de carburo de tungsteno, una de las sustancias más duras disponibles, que se deja caer sobre muestras de prueba desde una altura específica.

En Willert (2020) se puede encontrar un estudio exhaustivo de los coeficientes de restitución en función de las propiedades del material (módulos elásticos, reología), la dirección del impacto, el coeficiente de fricción y las propiedades adhesivas de los cuerpos impactantes. ^[3]

Aplicación en el deporte

Los palos de golf de cara delgada utilizan un "efecto trampolín" que crea golpes de mayor distancia como resultado de la flexión y la posterior liberación de energía almacenada que imparte un mayor impulso a la pelota. La USGA (el organismo que rige el golf en Estados Unidos) prueba ^[4] los drivers para determinar el COR y ha establecido el límite superior en 0,83. El COR es una función de las velocidades de la cabeza del palo y disminuye a medida que aumenta la velocidad de la cabeza del palo. ^[5] En el informe, el COR varía de 0,845 para 90 mph a tan solo 0,797 a 130 mph. El "efecto trampolín" mencionado anteriormente lo demuestra, ya que reduce la tasa de estrés de la colisión al aumentar el tiempo de la misma. Según un artículo (que aborda el COR en las raquetas de tenis ), "[p]ara las condiciones de referencia, el coeficiente de restitución utilizado es 0,85 para todas las raquetas, eliminando las variables de tensión de las cuerdas y rigidez del marco que podrían sumarse o restarse al coeficiente de restitución". ^[6]

La Federación Internacional de Tenis de Mesa especifica que la pelota debe rebotar entre 24 y 26 cm cuando se deja caer desde una altura de 30,5 cm sobre un bloque de acero estándar, ^[7] lo que implica un COR de 0,887 a 0,923.

Las reglas de la Federación Internacional de Baloncesto (FIBA) exigen que la pelota rebote a una altura de entre 1035 y 1085 mm cuando se deja caer desde una altura de 1800 mm, ^[8] lo que implica un COR entre 0,758 y 0,776.

Véase también

Referencias

^ Weir, G.; McGavin, P. (8 de mayo de 2008). "El coeficiente de restitución para el impacto idealizado de una partícula esférica a escala nanométrica sobre un plano rígido". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 464 (2093): 1295–1307. Bibcode :2008RSPSA.464.1295W. doi :10.1098/rspa.2007.0289. S2CID 122562612.
^ Mohazzabi, Pirooz (2011). "¿Cuándo se vuelve significativa la resistencia del aire en caída libre?". The Physics Teacher . 49 (2): 89–90. Bibcode :2011PhTea..49...89M. doi :10.1119/1.3543580.
^ Willert, Emanuel (2020). Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin: Grundlagen und Anwendungen (en alemán). Springer Vieweg. doi :10.1007/978-3-662-60296-6. ISBN 978-3-662-60295-9.S2CID212954456 .
^ Club de golf conforme usga.org Archivado el 16 de junio de 2021 en Wayback Machine
^ "¿Los bateadores de larga distancia obtienen una ventaja injusta?". USGA . 14 de febrero de 2015 . Consultado el 1 de junio de 2023 .
^ "Coeficiente de restitución". Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2016.
^ "Recursos técnicos sobre tenis | ITF". Archivado desde el original el 3 de diciembre de 2019.
^ "Baloncesto FIBA". FIBA.basketball . Consultado el 17 de octubre de 2024 .(Consulte la página 12 de las Reglas Oficiales de Baloncesto 2024 - Equipamiento de Baloncesto , un documento en formato PDF que se puede descargar desde la pestaña Equipamiento y Sede de FIBA.basketball, y está disponible en https://assets.fiba.basketball/image/upload/documents-corporate-fiba-official-rules-2024-official-basketball-rules-and-basketball-equipment.pdf)

Obras citadas

Cross, Rod (2006). "El rebote de una pelota" (PDF) . Departamento de Física, Universidad de Sydney, Australia . Consultado el 16 de enero de 2008 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
Walker, Jearl (2011). Fundamentos de física (novena edición). David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. ISBN 978-0-470-56473-8.

Enlaces externos

Artículo de Wolfram sobre COR
Bennett y Meepagala (2006). "Coeficientes de restitución". The Physics Factbook .
Introducción a la física de Chris Hecker
"Conseguir un impulso extra" por Chelsea Wald
Conceptos de calidad de la FIFA para balones de fútbol: rebote uniforme
Bowley, Roger (2009). "Coeficiente de restitución". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
Brogliato, Bernard (2016). Mecánica no suave. Modelos, dinámica y control . Ingeniería de comunicaciones y control. Springer Int. Pub. Suiza. ISBN 978-3-319-28662-4.