Bicorn

Curva matemática con dos cúspides

Bicorn

En geometría , el bicornio , también conocido como curva de sombrero de tres picos debido a su parecido con un bicornio , es una curva cuártica racional definida por la ecuación ^[1] Tiene dos cúspides y es simétrica respecto del eje y. ^[2] $${\displaystyle y^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)=\left(x^{2}+2ay-a^{2}\right)^{2}.}$$

Historia

En 1864, James Joseph Sylvester estudió la curva en relación con la clasificación de ecuaciones de quinto grado ; la denominó bicornio porque tiene dos cúspides. Esta curva fue estudiada más a fondo por Arthur Cayley en 1867. ^[3] $${\displaystyle y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0}$$

Propiedades

Un bicornio transformado con a = 1

El bicornio es una curva algebraica plana de grado cuatro y género cero. Tiene dos singularidades de cúspide en el plano real, y un punto doble en el plano proyectivo complejo en . Si movemos y al origen y realizamos una rotación imaginaria en sustituyendo por y por en la curva bicornio, obtenemos Esta curva, un limaçon , tiene un punto doble ordinario en el origen, y dos nodos en el plano complejo, en y . ^[4] ${\displaystyle (x=0,z=0)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ix/z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/z}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \left(x^{2}-2az+a^{2}z^{2}\right)^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.}$$ ${\displaystyle x=\pm i}$ ${\displaystyle z=1}$

Las ecuaciones paramétricas de una curva bicornio son con $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin \theta \\y&=a\,{\frac {(2+\cos \theta )\cos ^{2}\theta }{3+\sin ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi .}$

Véase también

• Lista de curvas

Referencias

1. Lawrence, J. Dennis (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 147–149. ISBN 0-486-60288-5.
2. "Bicornio". mathcurve .
3. Los documentos matemáticos recopilados de James Joseph Sylvester. Vol. II. Cambridge: Cambridge University Press. 1908. pág. 468.
4. "Bicornio". Historia de las matemáticas de MacTutor .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Bicornio". MathWorld .