Lema de Chow

El lema de Chow , que lleva el nombre de Wei-Liang Chow , es uno de los resultados fundamentales de la geometría algebraica . Dice aproximadamente que un morfismo adecuado está bastante cerca de ser un morfismo proyectivo . Más precisamente, una versión del mismo afirma lo siguiente: ^[1]

Si es un esquema apropiado sobre una base noetheriana , entonces existe un esquema proyectivo y un morfismo sobreyectivo que induce un isomorfismo para algunos densos y abiertos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\simeq U}$ ${\displaystyle U\subseteq X.}$

Prueba

La prueba aquí es estándar. ^[2]

Reducción al caso de incógnita {\displaystyle X} irreducible

Primero podemos reducirlo al caso en el que es irreducible. Para empezar, es noetheriano ya que es de tipo finito sobre una base noetheriana. Por lo tanto, tiene un número finito de componentes irreducibles , y afirmamos que para cada uno hay un esquema propio irreducible , de modo que tiene una imagen de teoría de conjuntos y es un isomorfismo en el subconjunto denso abierto de . Para ver esto, definamos que es la imagen teórica del esquema de la inmersión abierta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}$

Dado que es teóricamente noetheriano de conjuntos para cada , el mapa es casi compacto y podemos calcular esta imagen teórica de esquemas de forma afín localmente en , demostrando inmediatamente las dos afirmaciones. Si podemos producir para cada uno un esquema proyectivo como en el enunciado del teorema, entonces podemos tomarlo como la unión disjunta y como la composición : este mapa es proyectivo y es un isomorfismo sobre un conjunto abierto denso de , mientras que es un esquema proyectivo ya que es una unión finita de esquemas proyectivos. Dado que cada uno está justo encima , hemos completado la reducción al caso irreducible. ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

X {\displaystyle X} puede ser cubierto por un número finito de cuasiproyectivos S {\displaystyle S} -esquemas

A continuación, mostraremos que puede estar cubierto por un número finito de subconjuntos abiertos de modo que cada uno sea cuasiproyectivo sobre . Para hacer esto, podemos, mediante cuasicompacidad, cubrir primero con un número finito de aperturas afines y luego cubrir la preimagen de cada una con un número finito de aperturas afines, cada una con una inmersión cerrada en ya que es de tipo finito y, por lo tanto, cuasicompacto. Componiendo este mapa con las inmersiones abiertas y , vemos que cada una es un subesquema cerrado de un subesquema abierto de . Como es noetheriano, cada subesquema cerrado de un subesquema abierto es también un subesquema abierto de un subesquema cerrado y, por lo tanto, cada uno es cuasiproyectivo sobre . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{jk}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle S}$

Construcción de X ′ {\displaystyle X'} y f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\to X}

Ahora supongamos que es una cobertura abierta finita de esquemas cuasi-proyectivos , con una inmersión abierta en un esquema proyectivo. Set , que no está vacío por ser irreducible. Las restricciones del para definir un morfismo. ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}$

entonces , donde está la inyección canónica y es la proyección. Denotando la inmersión abierta canónica, definimos , que afirmamos es una inmersión. Para ver esto, tenga en cuenta que este morfismo se puede factorizar como el morfismo del gráfico (que es una inmersión cerrada como separada) seguido de la inmersión abierta ; Como es noetheriano, podemos aplicar la misma lógica que antes para ver que podemos intercambiar el orden de las inmersiones abiertas y cerradas. ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$ ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P}$ ${\displaystyle P\to S}$ ${\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X\times _{S}P}$

Ahora sea la imagen teórica de esquemas de , y factorice como ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}$

donde es una inmersión abierta y es una inmersión cerrada. Sean y sean las proyecciones canónicas. Colocar ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}$ ${\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}$

${\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}$

${\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}$

Demostraremos eso y satisfaceremos la conclusión del teorema. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f}$

Verificación de las propiedades reivindicadas de X ′ {\displaystyle X'} y f {\displaystyle f}

Para mostrar es sobreyectivo, primero notemos que es propio y por tanto cerrado. Como su imagen contiene el conjunto denso abierto , vemos que debe ser sobreyectivo. También es sencillo ver que induce un isomorfismo en : podemos simplemente combinar los hechos que y es un isomorfismo en su imagen, como factores como la composición de una inmersión cerrada seguida de una inmersión abierta . Queda por demostrar que se acabó la proyectividad . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$

Haremos esto mostrando que es una inmersión. Definimos las siguientes cuatro familias de subesquemas abiertos: ${\displaystyle g:X'\to P}$

${\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}$

${\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}$

${\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}$

${\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}$

Como la portada , la portada , y queremos mostrar que la portada también . Lo haremos mostrándolo a todos . Basta mostrar que es igual a un mapa de espacios topológicos. Reemplazando por su reducción, que tiene el mismo espacio topológico subyacente, tenemos que los dos morfismos son ambos extensiones del mapa subyacente del espacio topológico , por lo que según el lema reducido a separado deben ser iguales ya que son topológicamente densos en . Por lo tanto para todos y la afirmación está probada. ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$

El resultado es que la cobertura , y podemos comprobar que es una inmersión comprobando que es una inmersión para todos . Para esto, considere el morfismo ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g(X')}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}$

Como está separado, el morfismo del grafo es una inmersión cerrada y el grafo es un subesquema cerrado de ; si mostramos que los factores a través de este gráfico (donde consideramos a través de nuestra observación que es un isomorfismo de lo anterior), entonces el mapa de también debe factorizar a través de este gráfico mediante la construcción de la imagen teórica del esquema. Dado que la restricción de to es un isomorfismo sobre , la restricción de to será una inmersión en , y nuestra afirmación quedará probada. Sea la inyección canónica ; Tenemos que demostrar que existe un morfismo para que . Para la definición del producto de fibra, basta probar que , o identificando y , que . Pero y , entonces la conclusión deseada se desprende de la definición de y es una inmersión. Dado que es propio, cualquier -morfismo fuera de es cerrado y, por tanto, es una inmersión cerrada, también lo es proyectivo. ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}$ ${\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}$ ${\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}$ ${\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }$ ${\displaystyle \phi :U\to P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X'\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle g:X'\to P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Declaraciones adicionales

En el enunciado del lema de Chow, si es reducido, irreducible o integral, podemos suponer que lo mismo se aplica a . Si ambos y son irreducibles, entonces se trata de un morfismo biracional . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$

Referencias

1. Hartshorne 1977, capítulo II. Ejercicio 4.10.
2. Grothendieck y Dieudonné 1961, 5.6.1.
3. Grothendieck y Dieudonné 1961, 5.6.

Bibliografía

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157