No dimensionalización

Técnica de simplificación matemática en ciencias físicas.

La adimensionalización es la eliminación parcial o total de dimensiones físicas de una ecuación que involucra cantidades físicas mediante una sustitución adecuada de variables . Esta técnica puede simplificar y parametrizar problemas en los que intervienen unidades medidas . Está estrechamente relacionado con el análisis dimensional . En algunos sistemas físicos , el término escalamiento se usa indistintamente con no dimensionalización , para sugerir que ciertas cantidades se miden mejor en relación con alguna unidad apropiada. Estas unidades se refieren a cantidades intrínsecas al sistema, en lugar de unidades como las unidades SI . La adimensionalización no es lo mismo que convertir cantidades extensivas en una ecuación en cantidades intensivas, ya que este último procedimiento da como resultado variables que todavía contienen unidades.

La adimensionalización también puede recuperar propiedades características de un sistema. Por ejemplo, si un sistema tiene una frecuencia de resonancia intrínseca , una longitud o una constante de tiempo , la no dimensionalización puede recuperar estos valores. La técnica es especialmente útil para sistemas que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales . Un uso importante es el análisis de sistemas de control . Una de las unidades características más simples es el tiempo de duplicación de un sistema que experimenta un crecimiento exponencial o, por el contrario, la vida media de un sistema que experimenta un decaimiento exponencial ; un par de unidades características más natural es edad media/ vida media , que corresponden a la base e en lugar de a la base 2.

Muchos ejemplos ilustrativos de adimensionalización se originan a partir de la simplificación de ecuaciones diferenciales. Esto se debe a que una gran cantidad de problemas físicos pueden formularse en términos de ecuaciones diferenciales. Considera lo siguiente:

• Lista de temas de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales.
• Lista de temas de ecuaciones diferenciales parciales
• Ecuaciones diferenciales de física matemática.

Aunque la adimensionalización se adapta bien a estos problemas, no se limita a ellos. Un ejemplo de aplicación de ecuaciones no diferenciales es el análisis dimensional; Otro ejemplo es la normalización en estadística .

Los dispositivos de medición son ejemplos prácticos de adimensionalización que ocurre en la vida cotidiana. Los dispositivos de medición están calibrados con respecto a alguna unidad conocida. Las mediciones posteriores se realizan en relación con este estándar. Luego, se recupera el valor absoluto de la medida mediante el escalado con respecto al estándar.

Razón fundamental

Supongamos que un péndulo oscila con un período particular T. Para tal sistema, es ventajoso realizar cálculos relacionados con la oscilación relativa a T. En cierto sentido, esto normaliza la medición respecto del período.

Las mediciones realizadas en relación con una propiedad intrínseca de un sistema se aplicarán a otros sistemas que también tengan la misma propiedad intrínseca. También permite comparar una propiedad común de diferentes implementaciones del mismo sistema. La adimensionalización determina de manera sistemática las unidades características de un sistema a utilizar, sin depender en gran medida del conocimiento previo de las propiedades intrínsecas del sistema (no se deben confundir las unidades características de un sistema con las unidades naturales de la naturaleza ). De hecho, la adimensionalización puede sugerir los parámetros que deberían usarse para analizar un sistema. Sin embargo, es necesario comenzar con una ecuación que describa adecuadamente el sistema.

Pasos de no dimensionalización

Para adimensionalizar un sistema de ecuaciones, se debe hacer lo siguiente:

1. Identificar todas las variables independientes y dependientes;
2. Reemplazar cada una de ellas por una cantidad escalada con respecto a una unidad de medida característica que se determine;
3. Dividir por el coeficiente del polinomio de mayor orden o término derivado;
4. Elija con prudencia la definición de la unidad característica de cada variable de modo que los coeficientes de tantos términos como sea posible lleguen a ser 1;
5. Reescribe el sistema de ecuaciones en términos de sus nuevas cantidades adimensionales.

Los últimos tres pasos suelen ser específicos del problema donde se aplica la no dimensionalización. Sin embargo, casi todos los sistemas requieren que se realicen los dos primeros pasos.

Convenciones

No hay restricciones sobre los nombres de las variables utilizadas para reemplazar " x " y " t ". Sin embargo, generalmente se eligen de manera que su uso sea conveniente e intuitivo para el problema en cuestión. Por ejemplo, si " x " representa masa, la letra " m " podría ser un símbolo apropiado para representar la cantidad de masa adimensional.

En este artículo se han utilizado las siguientes convenciones:

• t – representa la variable independiente – normalmente una cantidad de tiempo. Su contraparte no dimensionalizada es . ${\displaystyle \tau }$
• x – representa la variable dependiente – puede ser masa, voltaje o cualquier cantidad mensurable. Su contraparte no dimensionalizada es . ${\displaystyle \chi }$

Una c subíndice agregada al nombre de la variable de una cantidad se usa para indicar la unidad característica utilizada para escalar esa cantidad. Por ejemplo, si x es una cantidad, entonces x _c es la unidad característica utilizada para escalarla.

Como ejemplo ilustrativo, considere una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes :

$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

1. En esta ecuación, la variable independiente aquí es t y la variable dependiente es x .
2. Colocar . Esto da como resultado la ecuación ${\displaystyle x=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c}}$
   $${\displaystyle a{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).}$$
3. El coeficiente del término ordenado más alto está delante del término de la primera derivada. Dividiendo por esto da
   $${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{c}}{a}}\chi ={\frac {At_{c}}{ax_{c}}}F(\tau ).}$$
4. El coeficiente delante de solo contiene una variable característica t _c , por lo que es más fácil elegir establecerlo primero en la unidad: ${\displaystyle \chi }$
   $${\displaystyle {\frac {bt_{c}}{a}}=1\Rightarrow t_{c}={\frac {a}{b}}.}$$
   Después,
   $${\displaystyle {\frac {At_{c}}{ax_{c}}}={\frac {A}{bx_{c}}}=1\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{b}}.}$$
5. La ecuación adimensional final en este caso se vuelve completamente independiente de cualquier parámetro con unidades:
   $${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Sustituciones

Supongamos por simplicidad que cierto sistema se caracteriza por dos variables: una variable dependiente x y una variable independiente t , donde x es una función de t . Tanto x como t representan cantidades con unidades. Para escalar estas dos variables, supongamos que hay dos unidades de medida intrínsecas x _c y t _c con las mismas unidades que x y t respectivamente, de modo que se cumplan estas condiciones:

$${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{c}}}\Rightarrow t=\tau t_{c}}$$

$${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.}$$

Estas ecuaciones se utilizan para reemplazar x y t al no dimensionar. Si se necesitan operadores diferenciales para describir el sistema original, sus contrapartes escaladas se convierten en operadores diferenciales adimensionales.

Operadores diferenciales

Considere la relación

$${\displaystyle \,\!t=\tau t_{c}\Rightarrow dt=t_{c}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{c}}}.}$$

Los operadores diferenciales adimensionales con respecto a la variable independiente se convierten en

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{t_{c}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

Función de forzado

Si un sistema tiene una función forzada , entonces ${\displaystyle \,\!f(t)}$

$${\displaystyle \,\!f(t)=f(\tau t_{c})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

Por lo tanto, la nueva función forzada depende de la cantidad adimensional . ${\displaystyle \,\!F}$ ${\displaystyle \,\!\tau }$

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

sistema de primer orden

Considere la ecuación diferencial para un sistema de primer orden:

$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

La derivación de las unidades características de este sistema da

$${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}},\ x_{c}={\frac {A}{b}}.}$$

sistema de segundo orden

Un sistema de segundo orden tiene la forma

$${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$$

Paso de sustitución

Reemplace las variables x y t con sus cantidades escaladas. La ecuación se convierte

$${\displaystyle a{\frac {x_{c}}{t_{c}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})=AF(\tau ).}$$

Esta nueva ecuación no es adimensional, aunque todas las variables con unidades quedan aisladas en los coeficientes. Dividiendo por el coeficiente del término ordenado más alto, la ecuación queda

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{c}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+t_{c}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}F(\tau ).}$$

Ahora es necesario determinar las cantidades de x _c ​​y t _c para que los coeficientes se normalicen. Dado que hay dos parámetros libres, como máximo sólo se pueden hacer dos coeficientes iguales a la unidad.

Determinación de unidades características.

Considere la variable t _c :

1. Si el término de primer orden está normalizado. ${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}}}$
2. Si el término de orden cero está normalizado. ${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$

Ambas sustituciones son válidas. Sin embargo, por razones pedagógicas, esta última sustitución se utiliza para sistemas de segundo orden. Elegir esta sustitución permite determinar x _{c normalizando el coeficiente de la función forzada:}

$${\displaystyle 1={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}={\frac {A}{cx_{c}}}\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{c}}.}$$

La ecuación diferencial se convierte en

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

El coeficiente del término de primer orden no tiene unidades. Definir

$${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

El factor 2 está presente para que las soluciones puedan parametrizarse en términos de ζ . En el contexto de sistemas mecánicos o eléctricos, ζ se conoce como relación de amortiguación y es un parámetro importante requerido en el análisis de sistemas de control . 2 ζ también se conoce como ancho de línea del sistema. El resultado de la definición es la ecuación del oscilador universal .

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Sistemas de orden superior

La ecuación diferencial lineal general de orden n con coeficientes constantes tiene la forma:

$${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {dx(t)}{dt}}+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\frac {d^{k}x(t)}{dt^{k}}}=Af(t).}$$

La función f ( t ) se conoce como función forzada .

Si la ecuación diferencial solo contiene coeficientes reales (no complejos), entonces las propiedades de dicho sistema se comportan como una mezcla de sistemas de primer y segundo orden únicamente. Esto se debe a que las raíces de su polinomio característico son pares conjugados reales o complejos . Por lo tanto, comprender cómo se aplica la adimensionalización a los sistemas de primer y segundo orden permite determinar las propiedades de los sistemas de orden superior mediante la superposición .

El número de parámetros libres en una forma adimensional de un sistema aumenta con su orden. Por esta razón, la adimensionalización rara vez se utiliza para ecuaciones diferenciales de orden superior. La necesidad de este procedimiento también se ha reducido con la llegada de la computación simbólica .

Ejemplos de recuperación de unidades características.

Una variedad de sistemas se pueden aproximar como sistemas de primer o segundo orden. Estos incluyen sistemas mecánicos, eléctricos, fluídicos, calóricos y torsionales. Esto se debe a que las cantidades físicas fundamentales involucradas en cada uno de estos ejemplos están relacionadas mediante derivadas de primer y segundo orden.

Oscilaciones mecánicas

Masa unida a un resorte y un amortiguador.

Supongamos que tenemos una masa unida a un resorte y un amortiguador, que a su vez están unidos a una pared, y una fuerza que actúa sobre la masa a lo largo de la misma línea. Definir

• ${\displaystyle x}$= desplazamiento desde el equilibrio [m]
• ${\displaystyle t}$= tiempo [s]
• ${\displaystyle f}$= fuerza externa o "perturbación" aplicada al sistema [kg⋅m⋅s ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= masa del bloque [kg]
• ${\displaystyle B}$= constante de amortiguación del amortiguador [kg⋅s ⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= constante de fuerza del resorte [kg⋅s ⁻² ]

Supongamos que la fuerza aplicada es una sinusoide F = F ₀ cos( ωt ) , la ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque es

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

La unidad intrínseca x _c corresponde a la distancia que se mueve el bloque por unidad de fuerza

$${\displaystyle x_{c}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

t _c

$${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

ζζrelación de amortiguación

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

Oscilaciones electricas

Circuito RC en serie de primer orden

Para un RC en serie conectado a una fuente de voltaje

$${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$$

$${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}=RC,\ F=V.}$$

La primera unidad característica corresponde a la carga total del circuito. La segunda unidad característica corresponde a la constante de tiempo del sistema.

Circuito RLC en serie de segundo orden

Para una configuración en serie de componentes R , C , L donde Q es la carga en el sistema

$${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$$

con las sustituciones

$${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ \ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{c}\omega .}$$

La primera variable corresponde a la carga máxima almacenada en el circuito. La frecuencia de resonancia viene dada por el recíproco del tiempo característico. La última expresión es el ancho de línea del sistema. El Ω puede considerarse como una frecuencia de función de forzado normalizada.

Mecánica cuántica

Oscilador armónico cuántico

La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico independiente del tiempo unidimensional es

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

El módulo cuadrado de la función de onda | ψ ( x )| ² representa la densidad de probabilidad que, cuando se integra sobre x , da una probabilidad adimensional. Por lo tanto, | ψ ( x )| ² tiene unidades de longitud inversa. Para adimensionalizar esto, se debe reescribir como una función de una variable adimensional. Para ello sustituimos

$${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$

x _c ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$

$${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

La ecuación diferencial entonces se convierte en

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Para hacer que el término delante de sea adimensional, establezca ${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

La ecuación completamente adimensionalizada es

$${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$

$${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$

del estado fundamentalestados cuánticos ${\displaystyle {\tilde {E}}}$

$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Análogos estadísticos

En estadística , el proceso análogo suele ser dividir una diferencia (una distancia) por un factor de escala (una medida de dispersión estadística ), lo que produce un número adimensional, lo que se llama normalización . En la mayoría de los casos, esto consiste en dividir los errores o residuos por la desviación estándar o la desviación estándar de la muestra, respectivamente, lo que arroja puntuaciones estándar y residuos estudentizados .

Ver también

• Teorema de Buckingham π
• Número adimensional
• Unidades naturales
• Equivalencia del sistema
• circuito RLC
• circuito RL
• circuito RC
• ecuación logística
• Sistema por unidad

enlaces externos

• Análisis de modelos de ecuaciones diferenciales en biología: un estudio de caso para poblaciones de meristemas de trébol (Aplicación de la adimensionalización a un problema de biología).
• Apuntes del curso de modelado matemático y matemáticas industriales Jonathan Evans, Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Bath . (ver Capítulo 3).
• Escalado de ecuaciones diferenciales Hans Petter Langtangen, Geir K. Pedersen, Centro de Computación Biomédica, Laboratorio de Investigación Simula y Departamento de Informática, Universidad de Oslo .