La ecuación de Chaplygin

En dinámica de gases , la ecuación de Chaplygin , llamada así en honor a Sergei Alekseevich Chaplygin (1902), es una ecuación diferencial parcial útil en el estudio del flujo transónico . ^[1] Es

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Aquí, es la velocidad del sonido , determinada por la ecuación de estado del fluido y la conservación de la energía. Para los gases politrópicos, tenemos , donde es la relación de calor específico y es la entalpía de estancamiento, en cuyo caso la ecuación de Chaplygin se reduce a ${\displaystyle c=c(v)}$ ${\displaystyle c^{2}/(\gamma -1)=h_{0}-v^{2}/2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+v^{2}{\frac {2h_{0}-v^{2}}{2h_{0}-(\gamma +1)v^{2}/(\gamma -1)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

La ecuación de Bernoulli (ver la derivación a continuación) establece que la velocidad máxima se produce cuando la entalpía específica se encuentra en el valor más pequeño posible; se puede tomar la entalpía específica como cero, correspondiente a la temperatura del cero absoluto como valor de referencia, en cuyo caso es la velocidad máxima alcanzable. Las integrales particulares de la ecuación anterior se pueden expresar en términos de funciones hipergeométricas . ^{[2] [3]} ${\displaystyle 2h_{0}}$

Derivación

Para el flujo potencial bidimensional, la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Euler (de hecho, la ecuación de Bernoulli compresible debido a la irrotacionalidad) en coordenadas cartesianas que involucran las variables velocidad del fluido , entalpía específica y densidad son ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}}$

con la ecuación de estado actuando como tercera ecuación. Aquí es la entalpía de estancamiento, es la magnitud del vector de velocidad y es la entropía. Para el flujo isentrópico , la densidad se puede expresar como una función únicamente de la entalpía , que a su vez, utilizando la ecuación de Bernoulli, se puede escribir como . ${\displaystyle \rho =\rho (s,h)}$ ${\displaystyle h_{o}}$ ${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \rho =\rho (h)}$ ${\displaystyle \rho =\rho (v)}$

Como el flujo es irrotacional, existe un potencial de velocidad y su diferencial es simplemente . En lugar de tratar y como variables dependientes, utilizamos una transformada de coordenadas tal que y se convierten en nuevas variables dependientes. De manera similar, el potencial de velocidad se reemplaza por una nueva función ( transformación de Legendre ) ^[4] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d\phi =v_{x}dx+v_{y}dy}$ ${\displaystyle v_{x}=v_{x}(x,y)}$ ${\displaystyle v_{y}=v_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle x=x(v_{x},v_{y})}$ ${\displaystyle y=y(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle \Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi }$

tal entonces su diferencial es , por lo tanto ${\displaystyle d\Phi =xdv_{x}+ydv_{y}}$

${\displaystyle x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.}$

Introduciendo otra transformación de coordenadas para las variables independientes de a según la relación y , donde es la magnitud del vector de velocidad y es el ángulo que forma el vector de velocidad con el eje , las variables dependientes se convierten en ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$ ${\displaystyle (v,\theta )}$ ${\displaystyle v_{x}=v\cos \theta }$ ${\displaystyle v_{y}=v\sin \theta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v_{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}}$

La ecuación de continuidad en las nuevas coordenadas queda

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.}$

Para el flujo isentrópico, , donde es la velocidad del sonido. Utilizando la ecuación de Bernoulli encontramos ${\displaystyle dh=\rho ^{-1}c^{2}d\rho }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

donde . Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle c=c(v)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Véase también

• Ecuación de Euler-Tricomi

Referencias

1. Chaplygin, SA (1902). Sobre corrientes de gas. Colección completa de obras. (Ruso) Izd. Akad. Nauk SSSR, 2.
2. Sedov, LI, (1965). Problemas bidimensionales en hidrodinámica y aerodinámica. Capítulo X
3. Von Mises, R., Geiringer, H. y Ludford, GSS (2004). Teoría matemática del flujo de fluidos compresibles. Courier Corporation.
4. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1982). Mecánica de fluidos (2.ª ed.). Pergamon Press. pág. 432.