Producto central

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , el producto central es una forma de producir un grupo a partir de dos grupos más pequeños. El producto central es similar al producto directo , pero en el producto central dos subgrupos centrales isomorfos de los grupos más pequeños se fusionan en un solo subgrupo central del producto. Los productos centrales son una construcción importante y se pueden utilizar, por ejemplo, para clasificar grupos extraespeciales .

Definición

Existen varias nociones relacionadas pero distintas de producto central. De manera similar al producto directo , existen caracterizaciones internas y externas, y además hay variaciones sobre cuán estrictamente se controla la intersección de los factores.

Un grupo G es un producto central interno de dos subgrupos H , K si

1. G es generado por H y K.
2. Cada elemento de H conmuta con cada elemento de K. (Gorenstein 1980, p. 29)

A veces se impone el requisito más estricto de que sea exactamente igual al centro, como en (Leedham-Green & McKay 2002, p. 32). Los subgrupos H y K se denominan entonces factores centrales de G . ${\displaystyle H\cap K}$

El producto central externo se construye a partir de dos grupos H y K , dos subgrupos y , y un isomorfismo de grupo . El producto central externo es el cociente del producto directo por el subgrupo normal ${\displaystyle H_{1}\leq Z(H)}$ ${\displaystyle K_{1}\leq Z(K)}$ ${\displaystyle \theta \colon H_{1}\to K_{1}}$ ${\displaystyle H\times K}$

${\displaystyle N=\{(h,k):h\in H_{1},k\in K_{1},{\text{ and }}\theta (h)\cdot k=1\}}$,

(Gorenstein 1980, p. 29). A veces se impone el requisito más estricto de que H ₁ = Z( H ) y K ₁ = Z( K ), como en (Leedham-Green & McKay 2002, p. 32).

Un producto central interno es isomorfo a un producto central externo con H ₁ = K ₁ = H ∩ K y θ la identidad. Un producto central externo es un producto central interno de las imágenes de H × 1 y 1 × K en el grupo de cocientes . Esto se muestra para cada definición en (Gorenstein 1980, p. 29) y (Leedham-Green & McKay 2002, pp. 32-33). ${\displaystyle (H\times K)/N}$

Obsérvese que el producto central externo no está determinado en general por sus factores H y K únicamente. El tipo de isomorfismo del producto central dependerá del isomorfismo θ . Sin embargo, está bien definido en algunas situaciones notables, por ejemplo, cuando H y K son ambos grupos extraespeciales finitos y y . ${\displaystyle H_{1}=Z(H)}$ ${\displaystyle K_{1}=Z(K)}$

Ejemplos

• El grupo de Pauli es el producto central del grupo cíclico y del grupo diedro . ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle D_{4}}$
• Cada grupo extra especial es un producto central de grupos extra especiales de orden p ³ .
• La capa de un grupo finito, es decir, el subgrupo generado por todos los subgrupos cuasisimples subnormales , es un producto central de los grupos cuasisimples en el sentido de Gorenstein.

Aplicaciones

La teoría de representación de productos centrales es muy similar a la teoría de representación de productos directos y, por lo tanto, se entiende bien (Gorenstein 1980, cap. 3.7).

Los productos centrales aparecen en muchos lemas estructurales, como (Gorenstein 1980, p. 350, Lema 10.5.5) que se utiliza en el resultado de George Glauberman de que los grupos finitos que admiten un grupo de Klein de cuatro automorfismos libres de punto fijo son resolubles .

En cierto contexto de un producto tensorial de módulos de Lie (y otras estructuras relacionadas), el grupo de automorfismos contiene un producto central de los grupos de automorfismos de cada factor (Aranda-Orna 2022, 4). ${\displaystyle \S }$

Referencias

• Gorenstein, Daniel (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, Sr.  0569209
• Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), La estructura de los grupos de orden de potencia primo , Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 27, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5, Sr.  1918951
• Aranda-Orna, Diego (2022), Sobre la construcción de Faulkner para superpares de Jordan generalizados , Álgebra lineal y sus aplicaciones, vol. 646, págs. 1–28