Teorema del límite central para estadística direccional

En teoría de probabilidad , el teorema del límite central establece las condiciones bajo las cuales el promedio de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes , cada una con media y varianza finitas, se distribuirá de manera aproximadamente normal . ^[1]

La estadística direccional es la subdisciplina de la estadística que se ocupa de direcciones ( vectores unitarios en R ⁿ ), ejes (líneas que pasan por el origen en R ⁿ ) o rotaciones en R ⁿ . Las medias y varianzas de las cantidades direccionales son todas finitas, de modo que el teorema del límite central puede aplicarse al caso particular de la estadística direccional. ^[2]

Este artículo tratará únicamente de vectores unitarios en el espacio bidimensional ( R ² ), pero el método descrito puede extenderse al caso general.

El teorema del límite central

Se mide una muestra de ángulos y, como son indefinidos dentro de un factor de , se utiliza la cantidad definida compleja como variable aleatoria. La distribución de probabilidad de la que se extrae la muestra se puede caracterizar por sus momentos, que se pueden expresar en forma cartesiana y polar: ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle z_{i}=e^{i\theta _{i}}=\cos(\theta _{i})+i\sin(\theta _{i})}$

${\displaystyle m_{n}=E(z^{n})=C_{n}+iS_{n}=R_{n}e^{i\theta _{n}}\,}$

Resulta que:

${\displaystyle C_{n}=E(\cos(n\theta ))\,}$

${\displaystyle S_{n}=E(\sin(n\theta ))\,}$

${\displaystyle R_{n}=|E(z^{n})|={\sqrt {C_{n}^{2}+S_{n}^{2}}}\,}$

${\displaystyle \theta _{n}=\arg(E(z^{n}))\,}$

Los momentos de muestra para N ensayos son:

${\displaystyle {\overline {m_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}={\overline {C_{n}}}+i{\overline {S_{n}}}={\overline {R_{n}}}e^{i{\overline {\theta _{n}}}}}$

dónde

${\displaystyle {\overline {C_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\cos(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {S_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sin(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {R_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|z_{i}^{n}|}$

${\displaystyle {\overline {\theta _{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\arg(z_{i}^{n})}$

El vector [ ] puede utilizarse como representación de la media de la muestra y puede tomarse como una variable aleatoria bidimensional. ^{[2] El} teorema del límite central bivariado establece que la distribución de probabilidad conjunta para y en el límite de un gran número de muestras viene dada por: ${\displaystyle {\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}}$ ${\displaystyle ({\overline {m_{1}}})}$ ${\displaystyle {\overline {C_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}}}}$

${\displaystyle [{\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}]{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}([C_{1},S_{1}],\Sigma /N)}$

donde es la distribución normal bivariada y es la matriz de covarianza para la distribución circular : ${\displaystyle {\mathcal {N}}()}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{CC}&\sigma _{CS}\\\sigma _{SC}&\sigma _{SS}\end{bmatrix}}\quad }$

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}\,}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=\sigma _{SC}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )\,}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}\,}$

Tenga en cuenta que la distribución normal bivariada se define sobre todo el plano, mientras que la media se limita a estar en la esfera unitaria (sobre o dentro del círculo unitario). Esto significa que la integral de la distribución límite (normal bivariada) sobre la esfera unitaria no será igual a la unidad, sino que se aproximará a la unidad a medida que N se acerque al infinito.

Se desea enunciar la distribución bivariada límite en términos de los momentos de la distribución.

Matriz de covarianza en términos de momentos

Uso de identidades trigonométricas de ángulos múltiples ^[2]

${\displaystyle C_{2}=E(\cos(2\theta ))=E(\cos ^{2}\theta -1)=E(1-\sin ^{2}\theta )\,}$

${\displaystyle S_{2}=E(\sin(2\theta ))=E(2\cos \theta \sin \theta )\,}$

Resulta que:

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1+C_{2}-2C_{1}^{2}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )={\frac {1}{2}}\left(S_{2}-2C_{1}S_{1}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-C_{2}-2S_{1}^{2}\right)}$

La matriz de covarianza ahora se expresa en términos de los momentos de la distribución circular.

El teorema del límite central también puede expresarse en términos de los componentes polares de la media. Si es la probabilidad de encontrar la media en el elemento de área , entonces esa probabilidad también puede escribirse como . ${\displaystyle P({\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}})d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$ ${\displaystyle d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$ ${\displaystyle P({\overline {R_{1}}}\cos({\overline {\theta _{1}}}),{\overline {R_{1}}}\sin({\overline {\theta _{1}}})){\overline {R_{1}}}d{\overline {R_{1}}}d{\overline {\theta _{1}}}}$

Referencias

1. Rice, John A. (1995). Estadística matemática y análisis de datos (2.ª ed.). Duxbury Press.
2. Jammalamadaka, S. Rao; SenGupta, A. (2001). Temas de estadística circular. Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-02-3778-3. Consultado el 15 de mayo de 2011 .