Esquema de diferenciación central

Figura 1. Comparación de diferentes esquemas

En matemáticas aplicadas , el esquema de diferenciación central es un método de diferencia finita que optimiza la aproximación para el operador diferencial en el nodo central del parche considerado y proporciona soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales. ^[1] Es uno de los esquemas utilizados para resolver la ecuación de convección-difusión integrada y para calcular la propiedad transportada Φ en las caras e y w, donde e y w son abreviaturas de este y oeste (las direcciones de la brújula se utilizan habitualmente para indicar direcciones en cuadrículas computacionales). Las ventajas del método son que es fácil de entender e implementar, al menos para relaciones materiales simples; y que su tasa de convergencia es más rápida que algunos otros métodos de diferenciación finita, como la diferenciación hacia adelante y hacia atrás. El lado derecho de la ecuación de convección-difusión, que básicamente resalta los términos de difusión, se puede representar utilizando la aproximación de diferencia central. Para simplificar la solución y el análisis, se puede utilizar la interpolación lineal de manera lógica para calcular los valores de la cara de la celda para el lado izquierdo de esta ecuación, que no es más que los términos convectivos. Por lo tanto, los valores de las propiedades de las celdas para una cuadrícula uniforme se pueden escribir como: ^[2]

$${\displaystyle \Phi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{P}+\Phi _{E})}$$ $${\displaystyle \Phi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{W}+\Phi _{P})}$$

Ecuación de difusión por convección en estado estacionario

La ecuación de convección-difusión es una representación colectiva de las ecuaciones de difusión y convección, y describe o explica cada fenómeno físico que involucra convección y difusión en la transferencia de partículas, energía y otras cantidades físicas dentro de un sistema físico: ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,}$$donde Г es el coeficiente de difusión y Φ es la propiedad .

Formulación de la ecuación de difusión por convección en estado estacionario

La integración formal de la ecuación de convección-difusión en estado estacionario sobre un volumen de control da

Esta ecuación representa el equilibrio de flujo en un volumen de control. El lado izquierdo proporciona el flujo convectivo neto y el lado derecho contiene el flujo difusivo neto y la generación o destrucción de la propiedad dentro del volumen de control.

En ausencia de ecuación del término fuente, uno se convierte en

Ecuación de continuidad :

Figura 2. Método de interpolación

Suponiendo un volumen de control e integrando la ecuación 2 sobre el volumen de control se obtiene:

La integración de la ecuación 3 da como resultado:

Es conveniente definir dos variables para representar el flujo de masa convectivo por unidad de área y la conductancia de difusión en las caras de la celda, por ejemplo: $${\displaystyle F=\rho u}$$ $${\displaystyle D=\Gamma /\delta x}$$

Suponiendo , podemos escribir la ecuación integrada de convección-difusión como: ${\displaystyle A_{e}=A_{w}}$ $${\displaystyle F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

Y la ecuación de continuidad integrada es: $${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$$

En un esquema de diferenciación central, probamos la interpolación lineal para calcular los valores de las caras de las celdas para los términos de convección.

Para una cuadrícula uniforme, podemos escribir los valores de las caras de las celdas de la propiedad Φ como $${\displaystyle \varphi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{E}+\varphi _{P}),\quad \varphi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{P}+\varphi _{W})}$$

Sustituyendo esto en la ecuación integrada de convección-difusión, obtenemos: $${\displaystyle F_{e}{\frac {\varphi _{E}+\varphi _{P}}{2}}-F_{w}{\frac {\varphi _{W}+\varphi _{P}}{2}}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

Y sobre la reorganización: $${\displaystyle \left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}}$$ $${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$$

Diferentes aspectos del esquema de diferenciación central

Conservadurismo

La conservación está garantizada en el esquema de diferenciación central ya que el equilibrio de flujo general se obtiene sumando el flujo neto a través de cada volumen de control teniendo en cuenta los flujos de límite para los volúmenes de control alrededor de los nodos 1 y 4.

Figura 3. Ilustración típica

Flujo límite para el volumen de control alrededor de los nodos 1 y 4 porque $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{1}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}-q_{A}\right]+\left[{\frac {\Gamma _{e_{2}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}\right]\\[10pt]+{}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{3}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{3}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}\right]+\left[q_{B}-{\frac {\Gamma _{w_{4}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}\right]=q_{B}-q_{A}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Gamma _{e_{1}}=\Gamma _{w_{2}},\Gamma _{e_{2}}=\Gamma _{w_{3}},\Gamma _{e_{3}}=\Gamma _{w_{4}}}$

Limitación

El esquema de diferenciación central satisface la primera condición de acotación .

Dado que de la ecuación de continuidad, por lo tanto; ${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$ ${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$

Otro requisito esencial para la acotación es que todos los coeficientes de las ecuaciones discretizadas deben tener el mismo signo (generalmente todos positivos). Pero esto solo se cumple cuando ( número de peclet ) porque para un flujo unidireccional ( ) siempre es positivo si ${\displaystyle F_{e}/D_{e}<2}$ ${\displaystyle F_{e}>0,F_{w}>0}$ ${\displaystyle a_{E}=(D_{e}-F_{e}/2)}$ ${\displaystyle D_{e}>F_{e}/2}$

Transportabilidad

Requiere que la transportividad cambie según la magnitud del número de peclet, es decir, cuando pe es cero se distribuye en todas las direcciones por igual y, a medida que Pe aumenta (convección > difusión) en un punto, depende en gran medida del valor ascendente y menos del valor descendente. Pero el esquema de diferenciación central no posee transportividad a un pe más alto, ya que Φ en un punto es el promedio de los nodos vecinos para todos los Pe. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Exactitud

El error de truncamiento de la serie de Taylor del esquema de diferenciación central es de segundo orden. El esquema de diferenciación central será preciso solo si Pe < 2. Debido a esta limitación, la diferenciación central no es una práctica de discretización adecuada para los cálculos de flujo de propósito general.

Aplicaciones de los esquemas de diferenciación central

• Actualmente se utilizan de forma habitual en la solución de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes .
• Los resultados obtenidos mediante la aproximación de diferenciación central han mostrado mejoras notables en la precisión en regiones suaves.
• La representación de ondas de choque y la definición de la capa límite se pueden mejorar en mallas gruesas. ^[3]

Ventajas

• Es más sencillo de programar, requiere menos tiempo de computadora por paso y funciona bien con técnicas de aceleración de múltiples cuadrículas.
• Tiene un parámetro libre junto con la disipación de cuarta diferencia, que es necesaria para acercarse a un estado estable.
• Más preciso que el esquema de primer orden en contra del viento si el número de Peclet es menor que 2. ^[3]

Desventajas

• Un poco más disipativo
• Provoca oscilaciones en la solución o divergencia si el número de Peclet local es mayor que 2. ^[4]

Véase también

• Método de diferencias finitas
• Diferencia finita
• Serie de Taylor
• Teorema de Taylor
• Ecuación de convección-difusión
• Difusión
• Convección
• Número de Peclet
• Interpolación lineal
• Derivada simétrica
• Esquema de diferenciación en contra del viento para convección

Referencias

1. Dinámica de fluidos computacional –T CHUNG, ISBN  0-521-59416-2
2. Introducción a la dinámica de fluidos computacional por HK VERSTEEG y W. MALALASEKERA, ISBN 0-582-21884-5 
3. Liu, Xu-Dong; Tadmor, Eitan (1998). "Esquema central no oscilatorio de tercer orden para leyes de conservación hiperbólicas". Matemáticas numéricas . 79 (3): 397–425. CiteSeerX 10.1.1.26.4631 . doi :10.1007/s002110050345. S2CID  16702600. 
4. Lección 5 - Métodos de solución

Lectura adicional

• Dinámica de fluidos computacional: conceptos básicos y aplicaciones – John D. Anderson, ISBN 0-07-001685-2 
• Dinámica de fluidos computacional volumen 1 – Klaus A. Hoffmann, Steve T. Chiang, ISBN 0-9623731-0-9 

Enlaces externos

• Esquema de diferencia central de convección y difusión en estado estacionario unidimensional
• Diferencias finitas
• Métodos de diferencia central Archivado el 5 de noviembre de 2013 en Wayback Machine.
• Un esquema de diferencias finitas conservador para ecuaciones de Poisson-Nernst-Planck