Los vórtices centrales son defectos topológicos lineales que existen en el vacío de la teoría de Yang-Mills y la QCD . Existen pruebas en simulaciones de red de que desempeñan un papel importante en el confinamiento de los quarks .
Los vórtices centrales llevan una carga de calibración bajo los elementos centrales de la cubierta universal del grupo de calibración G. De manera equivalente, su carga topológica es un elemento del grupo fundamental de esta cubierta universal cociente por su centro.
En un espacio bidimensional M, se puede construir un vórtice central en un punto x de la siguiente manera: se comienza con un fibrado trivial G sobre M. Se corta a lo largo de un círculo que une x . Se vuelve a unir el espacio total con una función de transición que es una función que va del círculo cortado a una representación de G. El nuevo espacio total es el fibrado de calibración de un vórtice central.
Ahora se construye el vórtice en x . Su carga topológica se puede calcular de la siguiente manera. Al elevar esta función hasta la cobertura universal de G , cada vez que se circunnavega el círculo, la función de transición se desplaza en algún elemento en el centro de la cobertura universal. Este elemento es la carga.
Los vórtices centrales también existen en espacios de dimensiones superiores. Siempre son de dimensión dos y la construcción anterior se generaliza cortando a lo largo de un tubo que rodea el vórtice.
En el caso de las teorías de calibre SU( N ), el centro está formado por las matrices constantes:
donde I es la matriz unidad. Estos elementos forman el subgrupo abeliano Z N . Bajo tales elementos centrales, los quarks se transforman como
mientras que los gluones son invariantes. Esto significa que, si los quarks están libres (como en la fase desconfinada ), la simetría central se romperá. La restauración de la simetría central implicará confinamiento. 't Hooft fue el primero en poner esto sobre una base más rigurosa. [1]
Las dos fases de la teoría se pueden distinguir en función del comportamiento de los vórtices. [2] Al considerar un determinado bucle de Wilson , si los vórtices son generalmente largos, la mayoría de los vórtices solo perforarán la superficie dentro del bucle de Wilson una vez. Además, el número de vórtices que perforan esta superficie crecerá en proporción al área de la superficie. Debido a que los vórtices suprimen el valor del valor esperado de vacío del bucle de Wilson, esto conducirá a una ley de área, es decir, el bucle de Wilson W ( C ) se comporta como
donde A es el área abarcada por el bucle. La constante σ se denomina tensión de la cuerda . Este comportamiento es típico del confinamiento. Sin embargo, cuando se considera un régimen en el que los vórtices son generalmente cortos (es decir, forman bucles pequeños), normalmente perforarán la superficie del bucle de Wilson dos veces en direcciones opuestas, lo que provocará que las dos contribuciones se cancelen. Solo los bucles de vórtices cerca del propio bucle de Wilson lo perforarán una vez, lo que provocará una contribución que se escale como el perímetro:
donde L es la longitud del bucle de Wilson y α es una constante. Este comportamiento indica que no hay confinamiento.
En las simulaciones de red, este comportamiento se observa de hecho. [2] A bajas temperaturas (donde hay confinamiento) los vórtices forman grandes cúmulos complejos y se filtran a través del espacio. A temperaturas más altas (por encima de la transición de fase de desconfinamiento) los vórtices forman pequeños bucles. Además, se ha visto que la tensión de la cuerda casi cae a cero cuando se eliminan los vórtices centrales de la simulación. [3] Por otro lado, la tensión de la cuerda permanece aproximadamente sin cambios cuando se elimina todo excepto los vórtices centrales. Esto muestra claramente la estrecha relación entre los vórtices centrales y el confinamiento. Aparte de esto, también se ha demostrado en simulaciones que los vórtices tienen una densidad finita en el límite continuo (lo que significa que no son un artefacto de red, pero existen en la realidad), y que también están vinculados con la ruptura de la simetría quiral y la carga topológica. [3]
Una sutileza se refiere a la tensión de la cuerda en el rango intermedio y en el límite de N grande . De acuerdo con la imagen del vórtice central, la tensión de la cuerda debería depender de la forma en que los campos de materia se transforman bajo el centro, es decir, su llamada N -alidad. Esto parece ser correcto para la tensión de la cuerda a gran distancia, pero a distancias más pequeñas la tensión de la cuerda es en cambio proporcional al Casimir cuadrático de la representación, la llamada escala de Casimir. Esto se ha explicado por la formación de dominios alrededor de los vórtices centrales. [4] En el límite de N grande , esta escala de Casimir llega hasta las grandes distancias. [5]
Consideremos el grupo de calibración SO(3). Tiene un centro trivial pero su grupo fundamental π 1 (SO(3)) es Z 2 . De manera similar, su recubrimiento universal es SU(2), cuyo centro es nuevamente Z 2 . Por lo tanto, los vórtices centrales en esta teoría están cargados por debajo de Z 2 y, por lo tanto, se espera que los pares de vórtices puedan aniquilarse.
Además, la teoría de calibre G2 no tiene una tensión de cuerda de largo alcance, lo que es coherente con la imagen del vórtice central. En esta teoría, los gluones pueden apantallar a los quarks, lo que conduce a estados singlete de color con el número cuántico de quarks. Sin embargo, el escalamiento de Casimir todavía está presente en rangos intermedios, es decir, antes de que se produzca la ruptura de la cuerda. Esto se puede explicar por la formación de dominios. [4]
