Ecuación de Cauchy-Euler

Ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas , una ecuación de Euler-Cauchy , o ecuación de Cauchy-Euler , o simplemente ecuación de Euler es una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes variables . A veces se la denomina ecuación equidimensional . Debido a su estructura equidimensional particularmente simple, la ecuación diferencial se puede resolver explícitamente.

La ecuacion

Sea y ^{( n )} ( x ) la enésima derivada de la función desconocida  y ( x ) . Entonces una ecuación de Cauchy-Euler de orden n tiene la forma

$${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{0}y(x)=0.}$$

La sustitución (es decir, ; para , se podrían reemplazar todas las instancias de por , lo que extiende el dominio de la solución a ) se puede utilizar para reducir esta ecuación a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Alternativamente, la solución de prueba se puede utilizar para resolver directamente las soluciones básicas. ^[1] ${\displaystyle x=e^{u}}$ ${\displaystyle u=\ln(x)}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle y=x^{m}}$

Segundo orden: resolución mediante solución de prueba

Curvas de solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de dos raíces reales

Curvas de solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de una raíz doble

Curvas de solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de raíces complejas

La ecuación de Cauchy-Euler más común es la ecuación de segundo orden y aparece en varias aplicaciones de física e ingeniería, como cuando se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas polares. La ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden es ^{[1] [2]}

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.}$$

Asumimos una solución de prueba ^[1]

$${\displaystyle y=x^{m}.}$$

Diferenciar da

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m\left(m-1\right)x^{m-2}.}$$

Sustituir en la ecuación original lleva a requerir

$${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)+ax\left(mx^{m-1}\right)+b\left(x^{m}\right)=0}$$

Reorganizar y factorizar da la ecuación inicial.

$${\displaystyle m^{2}+\left(a-1\right)m+b=0.}$$

Luego resolvemos para m . Hay tres casos particulares de interés:

• Caso 1 de dos raíces distintas, m ₁ y m ₂ ;
• Caso 2 de una raíz real repetida, m ;
• Caso 3 de raíces complejas, α ± βi .

En el caso 1, la solución es

$${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}}$$

En el caso 2, la solución es

$${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}}$$

Para llegar a esta solución se debe aplicar el método de reducción de orden después de haber encontrado una solución y = x ^m .

En el caso 3, la solución es

$${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))}$$

$${\displaystyle \alpha =\operatorname {Re} (m)}$$

$${\displaystyle \beta =\operatorname {Im} (m)}$$

Para . ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} }$

Esta forma de solución se deriva estableciendo x = e ^t y usando la fórmula de Euler

Segundo orden – solución mediante cambio de variables

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0}$$

Operamos la sustitución de variables definida por

$${\displaystyle t=\ln(x).}$$

$${\displaystyle y(x)=\varphi (\ln(x))=\varphi (t).}$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\varphi }{dt}}}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d\varphi }{dt}}\right).}$$

Sustituyendo la ecuación diferencial se convierte en ${\displaystyle \varphi (t)}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\varphi }{dt}}+b\varphi =0.}$$

Esta ecuación se resuelve mediante su polinomio característico. ${\displaystyle \varphi (t)}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$$

Ahora denotamos y denotamos las dos raíces de este polinomio. Analizamos el caso de raíces distintas y el caso de raíz repetida: ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

Si las raíces son distintas, la solución general es

$${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t},}$$

Si las raíces son iguales, la solución general es

$${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$$

En ambos casos, la solución se puede encontrar estableciendo . ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle t=\ln(x)}$

Por tanto, en el primer caso,

$${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}},}$$

$${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$$

Ejemplo

Dado

$${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$$

x ^m

$${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)-3x\left(mx^{m-1}\right)+3x^{m}=m\left(m-1\right)x^{m}-3mx^{m}+3x^{m}=\left(m^{2}-4m+3\right)x^{m}=0\,.}$$

Para que x ^m sea una solución, x = 0 , lo que da la solución trivial , o el coeficiente de x ^m es cero. Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos  m = 1, 3 . La solución general es por tanto

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$

Análogo de ecuación en diferencias

Existe una ecuación en diferencias análoga a la ecuación de Cauchy-Euler. Para un fijo m > 0 , defina la secuencia f _m ( n ) como

$${\displaystyle f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1).}$$

Aplicando el operador de diferencia a , encontramos que ${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}}$$

Si hacemos esto k veces, encontramos que

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}}$$

donde el superíndice ^{( k )} indica la aplicación del operador de diferencia k veces. Comparando esto con el hecho de que la k -ésima derivada de x ^m es igual

$${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}}$$

N

$${\displaystyle f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,}$$

$${\displaystyle y(n)=f_{m}(n)}$$

$${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\dots +a_{1}m+a_{0}=0.}$$

Ahora se puede proceder como en el caso de la ecuación diferencial, ya que la solución general de una ecuación en diferencias lineal de orden N es también la combinación lineal de N soluciones linealmente independientes. La aplicación de una reducción de orden en el caso de una raíz múltiple m ₁ producirá expresiones que involucran una versión discreta de  ln ,

$${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.}$$

(Comparar con: ) ${\textstyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {dt}{t-m_{1}}}.}$

En los casos en que se involucran fracciones, se puede usar

$${\displaystyle f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}}$$

m

Ver también

• Ecuación diferencial hipergeométrica
• Operador de Cauchy-Euler

Referencias

1. Kreyszig, Erwin (10 de mayo de 2006). Matemáticas de Ingeniería Avanzada . Wiley. ISBN 978-0-470-08484-7.
2. Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Rosatone, Laurie (ed.). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (10ª ed.). págs. 272-273. ISBN 978-0-470-45831-0.

Bibliografía

• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Cauchy-Euler". MundoMatemático .