Superficie de Cauchy

En el campo matemático de la geometría lorentziana , una superficie de Cauchy es un tipo determinado de subvariedad de una variedad lorentziana. En la aplicación de la geometría lorentziana a la física de la relatividad general , una superficie de Cauchy suele interpretarse como la definición de un "instante de tiempo". En las matemáticas de la relatividad general, las superficies de Cauchy proporcionan condiciones de contorno para la estructura causal en la que se pueden resolver las ecuaciones de Einstein (utilizando, por ejemplo, el formalismo ADM ).

Reciben su nombre del matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) debido a su relevancia para el problema de Cauchy de la relatividad general.

Introducción informal

Aunque suele expresarse en términos de relatividad general , la noción formal de superficie de Cauchy puede entenderse en términos familiares. Supongamos que los seres humanos pueden viajar a una velocidad máxima de 20 millas por hora. Esto impone restricciones, para cualquier persona dada, sobre dónde puede llegar en un tiempo determinado. Por ejemplo, es imposible que una persona que está en México a las 3 en punto llegue a Libia a las 4 en punto; sin embargo, es posible que una persona que está en Manhattan a la 1 en punto llegue a Brooklyn a las 2 en punto, ya que los lugares están separados por diez millas. Por lo tanto, para hablar de manera semiformal, ignore las zonas horarias y las dificultades de viaje, y supongamos que los viajeros son seres inmortales que han vivido para siempre.

El sistema de todas las formas posibles de rellenar los cuatro espacios en blanco en

"Una persona en (ubicación 1) a las (hora 1) puede llegar a (ubicación 2) a las (hora 2)"

define la noción de una estructura causal . Una superficie de Cauchy para esta estructura causal es una colección de pares de ubicaciones y tiempos tales que, para cualquier viajero hipotético, existe exactamente un par de ubicación y tiempo en la colección para el cual el viajero estuvo en la ubicación indicada en el momento indicado.

Hay varias superficies de Cauchy que no son interesantes. Por ejemplo, una superficie de Cauchy para esta estructura causal se obtiene considerando el emparejamiento de cada ubicación con la hora de la 1 en punto (en un día determinado), ya que cualquier viajero hipotético debe haber estado en una ubicación específica a esa hora; además, ningún viajero puede estar en múltiples ubicaciones a esa hora. Por el contrario, no puede haber ninguna superficie de Cauchy para esta estructura causal que contenga tanto el par (Manhattan, 1 en punto) como (Brooklyn, 2 en punto) ya que hay viajeros hipotéticos que podrían haber estado en Manhattan a la 1 en punto y en Brooklyn a las 2 en punto.

Existen, además, algunas superficies de Cauchy más interesantes que son más difíciles de describir verbalmente. Se podría definir una función τ a partir de la colección de todas las ubicaciones en la colección de todos los tiempos, de modo que el gradiente de τ sea en todas partes menor que 1/20 horas por milla. Otro ejemplo de superficie de Cauchy lo da la colección de pares

${\displaystyle {\Big \{}{\big (}p,\tau (p){\big )}:p{\text{ a location on Earth}}{\Big \}}.}$

La cuestión es que, para cualquier viajero hipotético, debe haber algún lugar p en el que el viajero estuviera en el momento τ( p ) ; esto se deduce del teorema del valor intermedio . Además, es imposible que haya dos lugares p y q y que haya algún viajero que esté en p en el momento τ( p ) y en q en el momento τ( q ) , ya que por el teorema del valor medio en algún momento habrían tenido que viajar a velocidad ⁠dist( p , q )/|τ( p ) − τ( q )|⁠ , que debe ser mayor que "20 millas por hora" debido a la condición de gradiente en τ: una contradicción.

Las teorías físicas de la relatividad especial y de la relatividad general definen estructuras causales que, esquemáticamente, son del tipo antes mencionado ("un viajero puede o no llegar a un punto determinado del espacio-tiempo desde otro punto determinado del espacio-tiempo"), con la excepción de que los lugares y los tiempos no son claramente separables entre sí. Por lo tanto, también se puede hablar de superficies de Cauchy para estas estructuras causales.

Definición matemática y propiedades básicas

Sea ( M , g ) una variedad lorentziana. Se dice que una función c  : ( a , b ) → M es una curva temporal inextensible diferenciable en ( M , g ) si:

• es diferenciable
• c ( t ) es temporal para cada t en el intervalo ( a , b )
• c ( t ) no se acerca a un límite cuando t aumenta a b o cuando t disminuye a a . ^[1]

Un subconjunto S de M se denomina superficie de Cauchy si cada curva temporal diferenciable e inextensible en ( M , g ) tiene exactamente un punto de intersección con S ; si existe tal subconjunto, entonces ( M , g ) se denomina globalmente hiperbólico .

Lo siguiente es automáticamente cierto para una superficie de Cauchy S :

El subconjunto S ⊂ M es topológicamente cerrado y es una subvariedad continua (e incluso de Lipschitz) incrustada de M . El flujo de cualquier campo vectorial continuo temporal define un homeomorfismo S × ℝ → M . Al considerar la restricción de la inversa a otra superficie de Cauchy, se ve que dos superficies de Cauchy cualesquiera son homeomorfas.

Es difícil decir más sobre la naturaleza de las superficies de Cauchy en general. El ejemplo de

${\displaystyle {\Big \{}(t,x,y,z):t^{2}={\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}{\Big \}}}$

como superficie de Cauchy para el espacio de Minkowski ℝ ^3,1 deja claro que, incluso para las variedades lorentzianas "más simples", las superficies de Cauchy pueden no ser diferenciables en todas partes (en este caso, en el origen), y que el homeomorfismo S × ℝ → M puede no ser ni siquiera un C ¹ -difeomorfismo. Sin embargo, el mismo argumento que para una superficie de Cauchy general muestra que si una superficie de Cauchy S es una C ^k -subvariedad de M , entonces el flujo de un campo vectorial suave temporal define un C ^k -difeomorfismo S × ℝ → M , y que dos superficies de Cauchy cualesquiera que sean ambas C ^k -subvariedades de M serán C ^k -difeomorfas.

Además, a costa de no poder considerar superficies de Cauchy arbitrarias, siempre es posible encontrar superficies de Cauchy suaves (Bernal & Sánchez 2003):

Dada cualquier variedad lorentziana suave ( M , g ) que tiene una superficie de Cauchy, existe una superficie de Cauchy S que es una subvariedad suave incrustada y espacialmente semejante de M y tal que S × ℝ es suavemente difeomorfa a M .

Desarrollos de Cauchy

Sea ( M , g ) una variedad lorentziana orientada en el tiempo. Se dice que una función c  : ( a , b ) → M es una curva causal diferenciable inextensible en el pasado en ( M , g ) si:

• es diferenciable
• c ′( t ) es temporal dirigida al futuro o nula dirigida al futuro para cada t en el intervalo ( a , b )
• c ( t ) no se acerca a un límite a medida que t disminuye a un

Se define una curva causal diferenciable inextensible en el futuro con los mismos criterios, reemplazando la frase "cuando t disminuye a a " por "cuando t aumenta a b ". Dado un subconjunto S de M , el desarrollo de Cauchy futuro D ⁺ ( S ) de S se define como que consta de todos los puntos p de M tales que si c  : ( a , b ) → M es cualquier curva causal diferenciable inextensible en el pasado tal que c ( t ) = p para algún t en ( a , b ) , entonces existe algún s en ( a , b ) con c ( s ) ∈ S . Se define el desarrollo de Cauchy pasado D ⁻ ( S ) con los mismos criterios, reemplazando "inextensible en el pasado" por "inextensible en el futuro".

De manera informal:

El desarrollo de Cauchy futuro de S consiste en todos los puntos p tales que cualquier observador que llegue a p debe haber pasado por S ; el desarrollo de Cauchy pasado de S consiste en todos los puntos p tales que cualquier observador que salga de p tendrá que pasar por S.

El desarrollo de Cauchy D ( S ) es la unión del desarrollo de Cauchy futuro y el desarrollo de Cauchy pasado.

Discusión

Cuando no hay curvas temporales cerradas y son dos regiones diferentes. Cuando la dimensión temporal se cierra sobre sí misma en todas partes de modo que forma un círculo, el futuro y el pasado de son los mismos y ambos incluyen . La superficie de Cauchy se define rigurosamente en términos de intersecciones con curvas inextensibles para tratar este caso de tiempo circular. Una curva inextensible es una curva sin extremos: o bien continúa eternamente, permaneciendo temporal o nula, o bien se cierra sobre sí misma para formar un círculo, una curva cerrada no espacial. ${\displaystyle D^{+}}$ ${\displaystyle D^{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Cuando hay curvas cerradas temporales o incluso cuando hay curvas cerradas no espaciales, una superficie de Cauchy sigue determinando el futuro, pero el futuro incluye la superficie misma. Esto significa que las condiciones iniciales obedecen a una restricción y la superficie de Cauchy no tiene el mismo carácter que cuando el futuro y el pasado están disjuntos.

Si no hay curvas temporales cerradas, entonces dada una superficie de Cauchy parcial y si , la variedad entera , entonces es una superficie de Cauchy. Cualquier superficie de constante en el espacio-tiempo de Minkowski es una superficie de Cauchy. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})={\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle t}$

Horizonte de Cauchy

Si entonces existe un horizonte de Cauchy entre y regiones de la variedad no completamente determinadas por la información sobre . Un claro ejemplo físico de un horizonte de Cauchy es el segundo horizonte dentro de un agujero negro cargado o rotatorio. El horizonte más externo es un horizonte de sucesos , más allá del cual la información no puede escapar, pero donde el futuro aún está determinado por las condiciones externas. Dentro del horizonte interno, el horizonte de Cauchy, la singularidad es visible y para predecir el futuro se requieren datos adicionales sobre lo que sale de la singularidad. ${\displaystyle D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})\not ={\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle D^{\pm }({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Dado que un horizonte de Cauchy de un agujero negro sólo se forma en una región donde las geodésicas son salientes, en coordenadas radiales, en una región donde la singularidad central es repulsiva, es difícil imaginar exactamente cómo se forma. Por esta razón, Kerr y otros sugieren que un horizonte de Cauchy nunca se forma, sino que el horizonte interior es de hecho una singularidad espacial o temporal. El horizonte interior corresponde a la inestabilidad debida a la inflación de masa. ^{[2] [3] [4]}

Un espacio-tiempo homogéneo con un horizonte de Cauchy es un espacio anti-de Sitter .

Véase también

• Estructura causal

Referencias

1. Se requiere que para todos los puntos p en M , exista un entorno abierto U de p y una secuencia t _k que aumenta hasta b y una secuencia s _k que decrece hasta a tal que c ( t _k ) y c ( s _k ) no estén contenidos en U para ningún k . Esta definición tiene sentido incluso si M solo tiene la estructura de un espacio topológico .
2. Hamilton, Andrew JS; Avelino, Pedro P. (2010), "La física de la inestabilidad de contracorriente relativista que impulsa la inflación de masa dentro de los agujeros negros", Physics Reports , 495 (1): 1–32, arXiv : 0811.1926 , Bibcode :2010PhR...495....1H, doi :10.1016/j.physrep.2010.06.002, ISSN  0370-1573, S2CID  118546967
3. Poisson, Eric; Israel, Werner (1990). "Estructura interna de los agujeros negros". Physical Review D . 41 (6): 1796–1809. Bibcode :1990PhRvD..41.1796P. doi :10.1103/PhysRevD.41.1796. PMID  10012548.
4. Di Filippo, Francesco; Carballo-Rubio, Raúl; Liberati, Stefano; Pacilio, Costantino; Visser, Matt (28 de marzo de 2022). "En el horizonte interior, la inestabilidad de los agujeros negros no singulares". Universo . 8 (4): 204. arXiv : 2203.14516 . Código Bib : 2022Univ....8..204D. doi : 10.3390/universo8040204 .

Artículos de investigación

• Choquet-Bruhat, Yvonne; Geroch, Robert. Aspectos globales del problema de Cauchy en la relatividad general. Com. Matemáticas. Física. 14 (1969), 329–335.
• Geroch, Robert. Dominio de la dependencia. J. Física Matemática. 11 (1970), 437–449.
• Bernal, Antonio N.; Sánchez, Miguel. Sobre hipersuperficies suaves de Cauchy y el teorema de división de Geroch. Com. Matemáticas. Física. 243 (2003), núm. 3, 461–470.
• Bernal, Antonio N.; Sánchez, Miguel. Suavidad de funciones temporales y desdoblamiento métrico de espacios-tiempos globalmente hiperbólicos. Comm. Math. Phys. 257 (2005), no. 1, 43–50.

Libros de texto

• Beem, John K.; Ehrlich, Paul E.; Easley, Kevin L. Geometría lorentziana global. Segunda edición. Monografías y libros de texto sobre matemáticas puras y aplicadas, 202. Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1996. xiv+635 págs. ISBN 0-8247-9324-2 
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Relatividad general y ecuaciones de Einstein. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 pp. ISBN 978-0-19-923072-3 
• Hawking, SW; Ellis, GFR La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge Monographs on Mathematical Physics, No. 1. Cambridge University Press, Londres-Nueva York, 1973. xi+391 pp.
• O'Neill, Barrett. Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1 
• Penrose, Roger. Técnicas de topología diferencial en relatividad. Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Applied Mathematics, No. 7. Society for Industrial and Applied Mathematics, Filadelfia, Pensilvania, 1972. viii+72 pp.
• Wald, Robert M. Relatividad general. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii+491 págs. ISBN 0-226-87032-4 ; 0-226-87033-2