Categoría de matrices

Definición básica y propiedades de la categoría de matrices

En matemáticas , la categoría de matrices , a menudo denominada , es la categoría cuyos objetos son números naturales y cuyos morfismos son matrices , con composición dada por la multiplicación de matrices . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbf {Mat} }$

Construcción

Sea una matriz real , es decir, una matriz con filas y columnas. Dada una matriz , podemos formar la multiplicación matricial o sólo cuando , y en ese caso la matriz resultante es de dimensión . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle B\circ A}$ ${\displaystyle q=n}$ ${\displaystyle p\times m}$

En otras palabras, solo podemos multiplicar matrices y cuando el número de filas de coincide con el número de columnas de . Se puede hacer un seguimiento de este hecho declarando que una matriz es de tipo , y de manera similar, que una matriz es de tipo . De esta manera, cuando las dos flechas tienen origen y destino coincidentes, , y por lo tanto se pueden componer para formar una flecha de tipo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle m\to n}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle q\to p}$ ${\displaystyle q=n}$ ${\displaystyle m\to n\to p}$ ${\displaystyle m\to p}$

Esto queda plasmado precisamente en el concepto matemático de categoría , donde las flechas, o morfismos , son las matrices, y pueden estar compuestas sólo cuando su dominio y codominio son compatibles (similar a lo que ocurre con las funciones ). En detalle, la categoría se construye de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

• Tiene como objetos los números naturales ;

• Dados los números y , un morfismo es una matriz, es decir, una matriz con filas y columnas; ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\to n}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

• El morfismo identidad de cada objeto viene dado por la matriz identidad ; ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

• La composición de morfismos y (es decir, de matrices y ) viene dada por la multiplicación de matrices . ${\displaystyle A:m\to n}$ ${\displaystyle B:n\to p}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle p\times n}$

De manera más general, se puede definir la categoría de matrices sobre un cuerpo fijo , como el de los números complejos . ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Propiedades

• La categoría de matrices es equivalente a la categoría de espacios vectoriales reales de dimensión finita y de aplicaciones lineales . Esto se evidencia por el funtor que asigna el número al espacio vectorial , y una matriz a la aplicación lineal correspondiente . ^{[3] [2]} Una posible interpretación de este hecho es que, como teorías matemáticas, los espacios vectoriales abstractos de dimensión finita y las matrices concretas tienen el mismo poder expresivo. ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

• De manera más general, la categoría de matrices es equivalente a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre los mapas de campo y lineales . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• Una operación lineal de fila sobre una matriz se puede obtener de manera equivalente aplicando la misma operación a la matriz identidad y luego multiplicando la matriz resultante por . En particular, las operaciones de fila elementales corresponden a matrices elementales . Este hecho puede verse como un ejemplo del lema de Yoneda para la categoría de matrices. ^{[4] [5]} ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

• La operación de transposición convierte la categoría de matrices en una categoría de daga . Lo mismo puede decirse de la transposición conjugada en el caso de números complejos .

Subcategorías particulares

• Para cada fijo , los morfismos de son las matrices, y forman un monoide , canónicamente isomorfo al monoide de endomorfismos lineales de . En particular, las matrices invertibles forman un grupo . Lo mismo puede decirse de un cuerpo genérico . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to n}$ ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• Una matriz estocástica es una matriz real de elementos no negativos, de modo que la suma de cada columna es uno. Las matrices estocásticas incluyen la identidad y están cerradas en cuanto a composición, por lo que forman una subcategoría de . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

Citas

1. Riehl (2016), págs. 4-5
2. Perrone (2024), págs. 99-100
3. Riehl (2016), pág. 30
4. Riehl (2016), págs. 60-61
5. Perrone (2024), págs. 119-120
6. Perrone (2024), págs. 302-303

Referencias

• Riehl, Emily (2016). Teoría de categorías en contexto. Dover. ISBN 9780486809038.

• Perrone, Paolo (2024). Teoría de categorías iniciales. World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.

Enlaces externos

• El lema de Yoneda en la categoría de matrices, vídeo tutorial.