Cassini y las identidades catalanas

Identidades matemáticas para los números de Fibonacci

La identidad de Cassini (a veces llamada identidad de Simson ) y la identidad de Catalan son identidades matemáticas para los números de Fibonacci . La identidad de Cassini , un caso especial de la identidad de Catalan , establece que para el n- ésimo número de Fibonacci,

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}$

Nota: aquí se toma como 0 y se toma como 1. ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

La identidad catalana generaliza esto:

${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.}$

La identidad de Vajda generaliza esto:

${\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.}$

Historia

La fórmula de Cassini fue descubierta en 1680 por Giovanni Domenico Cassini , entonces director del Observatorio de París, y demostrada independientemente por Robert Simson (1753). ^[1] Sin embargo, Johannes Kepler presumiblemente conocía la identidad ya en 1608. ^[2]

La identidad de Catalan debe su nombre a Eugène Catalan (1814-1894). Se puede encontrar en una de sus notas de investigación privadas, titulada "Sur la série de Lamé" y fechada en octubre de 1879. Sin embargo, la identidad no apareció impresa hasta diciembre de 1886 como parte de sus obras completas (Catalan 1886). Esto explica por qué algunos dan 1879 y otros 1886 como fecha para la identidad de Catalan (Tuenter 2022, p. 314).

El matemático húngaro-británico Steven Vajda (1901-1995) publicó un libro sobre los números de Fibonacci ( Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications , 1989) que contiene la identidad que lleva su nombre. ^{[3] [4]} Sin embargo, la identidad había sido publicada anteriormente en 1960 por Dustan Everman como problema 1396 en The American Mathematical Monthly , ^[1] y en 1901 por Alberto Tagiuri en Periodico di Matematica. ^[5]

Prueba de identidad de Cassini

Demostración mediante teoría de matrices

Se puede dar una prueba rápida de la identidad de Cassini (Knuth 1997, p. 81) al reconocer el lado izquierdo de la ecuación como determinante de una matriz 2×2 de números de Fibonacci. El resultado es casi inmediato cuando se ve que la matriz es la n -ésima potencia de una matriz con determinante −1:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}$

Prueba por inducción

Considere la declaración de inducción:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}$

El caso base es verdadero. ${\displaystyle n=1}$

Supongamos que la afirmación es verdadera para . Entonces: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}}$

Por lo tanto, la afirmación es verdadera para todos los números enteros . ${\displaystyle n>0}$

Prueba de identidad catalana

Utilizamos la fórmula de Binet , que , donde y . ${\displaystyle F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Por lo tanto, y . ${\displaystyle \phi +\psi =1}$ ${\displaystyle \phi \psi =-1}$

Entonces,

${\displaystyle 5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})}$

${\displaystyle =-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

Usando , ${\displaystyle \phi \psi =-1}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

y otra vez como , ${\displaystyle \phi ={\frac {-1}{\psi }}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})}$

El número de Lucas se define como , por lo que ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}}$

Porque ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

Cancelando la 's se obtiene el resultado. ${\displaystyle 5}$

Notas

1. Thomas Koshy: Números de Fibonacci y Lucas con aplicaciones . Wiley, 2001, ISBN  9781118031315 , págs. 74-75, 83, 88
2. Miodrag Petkovic: Famosos acertijos de grandes matemáticos . AMS, 2009, ISBN 9780821848142 , págs. 30-31 
3. Douglas B. West: Matemáticas combinatorias . Cambridge University Press, 2020, pág. 61
4. Steven Vadja: Fibonacci y los números de Lucas, y la sección áurea: teoría y aplicaciones . Dover, 2008, ISBN 978-0486462769 , pág. 28 (publicación original en 1989 en Ellis Horwood) 
5. Alberto Tagiuri: Ecuación (3) en Di alcune sucesioni ricorrenti a termini interi e positivi, Periodico di Matematica 16 (1901), págs.

Referencias

• Catalán, Eugène-Charles (diciembre de 1886). "CLXXXIX. — Sur la serie de Lamé". Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège, Deuxième Série . 13 : 319–321.
• Knuth, Donald Ervin (1997), El arte de la programación informática, volumen 1: Algoritmos fundamentales , El arte de la programación informática , vol. 1 (3.ª ed.), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4
• Simson, R. (1753). "Una explicación de un pasaje oscuro en el comentario de Albert Girard sobre las obras de Simon Stevin". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 48 : 368–376. doi : 10.1098/rstl.1753.0056 .
• Tuenter, Hans JH (noviembre de 2022). "Identidades de suma de Fibonacci que surgen de la identidad catalana". The Fibonacci Quarterly . 60 (4): 312–319. MR  4539699. Zbl  1512.11025.
• Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). "Una prueba biyectiva de la identidad de Fibonacci de Cassini". Matemáticas discretas . 58 (1): 109. doi : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 . MR  0820846.

Enlaces externos

• Prueba de la identidad de Cassini
• Prueba de identidad catalana
• Fórmula de Cassini para los números de Fibonacci
• Fórmulas de Fibonacci y Phi