El criterio de Cartan

En matemáticas , el criterio de Cartan proporciona condiciones para que un álgebra de Lie de característica 0 sea resoluble , lo que implica un criterio relacionado para que el álgebra de Lie sea semisimple . Se basa en la noción de la forma de Killing , una forma bilineal simétrica definida por la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle B(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

donde tr denota la traza de un operador lineal . El criterio fue introducido por Élie Cartan  (1894). ^[1]

Criterio de solubilidad de Cartan

El criterio de Cartan para la solubilidad establece:

Una subálgebra de Lie de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero es solucionable si y solo si siempre que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$ ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].}$

El hecho de que en el caso resoluble se sigue del teorema de Lie que pone en la forma triangular superior sobre el cierre algebraico del campo fundamental (la traza se puede calcular después de extender el campo fundamental). El recíproco se puede deducir del criterio de nilpotencia basado en la descomposición de Jordan-Chevalley , como se explica allí. ${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Aplicando el criterio de Cartan a la representación adjunta se obtiene:

Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero se puede resolver si y sólo si (donde K es la forma de Killing). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$

El criterio de semisimplicidad de Cartan

El criterio de Cartan para la semisimplicidad establece:

Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero es semisimple si y sólo si la forma de Killing es no degenerada . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Jean Dieudonné  (1953) dio una prueba muy breve de que si un álgebra de Lie de dimensión finita (en cualquier característica) tiene una forma bilineal invariante no degenerada y ningún ideal abeliano distinto de cero, y en particular si su forma de Killing es no degenerada, entonces es una suma de álgebras de Lie simples.

Por el contrario, se deduce fácilmente del criterio de solubilidad de Cartan que un álgebra semisimple (en característica 0) tiene una forma de Killing no degenerada.

Ejemplos

Los criterios de Cartan fallan en algunas características ; por ejemplo: ${\displaystyle p>0}$

• El álgebra de Lie es simple si k tiene característica distinta de 2 y tiene forma de Killing evanescente, aunque tiene una forma bilineal invariante distinta de cero dada por . ${\displaystyle \operatorname {SL} _{p}(k)}$ ${\displaystyle (a,b)=\operatorname {tr} (ab)}$
• El álgebra de Lie con base para y corchete [ a _i , a _j ] = ( i − j ) a _{i + j} es simple pero no tiene una forma bilineal invariante distinta de cero. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p>2}$
• Si k tiene característica 2 entonces el producto semidirecto gl ₂ ( k ). k ² es un álgebra de Lie resoluble, pero la forma de Killing no es idénticamente cero en su álgebra derivada sl ₂ ( k ). k ² .

Si un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente, entonces la forma de Killing es idénticamente cero (y, más generalmente, la forma de Killing se anula en cualquier ideal nilpotente). La inversa es falsa: hay álgebras de Lie no nilpotentes cuya forma de Killing se anula. Un ejemplo lo da el producto semidirecto de un álgebra de Lie abeliana V con un álgebra de Lie unidimensional que actúa sobre V como un endomorfismo b tal que b no es nilpotente y Tr( b ² )=0.

En la característica 0, cada álgebra de Lie reductiva (una que es una suma de álgebras de Lie abelianas y simples) tiene una forma bilineal simétrica invariante no degenerada. Sin embargo, la inversa es falsa: un álgebra de Lie con una forma bilineal simétrica invariante no degenerada no necesita ser una suma de álgebras de Lie simples y abelianas. Un contraejemplo típico es G = L [ t ]/ t ⁿ L [ t ] donde n >1, L es un álgebra de Lie compleja simple con una forma bilineal (,), y la forma bilineal en G se da tomando el coeficiente de t ^{n −1} de la forma bilineal con valor C [ t ] en G inducida por la forma en L . La forma bilineal no es degenerada, pero el álgebra de Lie no es una suma de álgebras de Lie simples y abelianas.

Notas

1. Cartan, Capítulo IV, Teorema 1

Referencias

• Cartan, Élie (1894), Sur la estructura de los grupos de transformaciones finis et continus, Tesis, Nony
• Dieudonné, Jean (1953), "Sobre álgebras de Lie semisimples", Actas de la American Mathematical Society , 4 (6): 931–932, doi :10.2307/2031832, ISSN  0002-9939, JSTOR  2031832, MR  0059262
• Serre, Jean-Pierre (2006) [1964], Álgebras de Lie y grupos de Lie , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1500, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-70634-2, ISBN 978-3-540-55008-2, Sr.  2179691

Véase también

• Álgebra de Lie modular