Campo de pendiente

Representación visual de soluciones a una ecuación diferencial

El campo de pendientes de , con las líneas azul, roja y turquesa siendo , , y , respectivamente. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{2}-x-2}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x+4}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x-4}$

Un campo de pendiente (también llamado campo de dirección ^[1] ) es una representación gráfica de las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden ^[2] de una función escalar. Las soluciones de un campo de pendiente son funciones dibujadas como curvas sólidas. Un campo de pendiente muestra la pendiente de una ecuación diferencial en ciertos intervalos verticales y horizontales en el plano xy, y se puede utilizar para determinar la pendiente tangente aproximada en un punto de una curva, donde la curva es alguna solución de la ecuación diferencial.

Definición

Caso estándar

El campo de pendientes se puede definir para los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle y'=f(x,y),}$

que puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la tangente a la gráfica de la solución de la ecuación diferencial ( curva integral ) en cada punto ( x , y ) en función de las coordenadas del punto. ^[3]

Se puede considerar como una forma creativa de representar gráficamente una función de valor real de dos variables reales como una imagen plana. En concreto, para un par dado , se dibuja un vector con los componentes en el punto del plano . A veces, el vector se normaliza para que el gráfico se vea mejor a simple vista. Normalmente, se utiliza un conjunto de pares que forman una cuadrícula rectangular para el dibujo. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ ${\displaystyle x,y}$

A menudo se utiliza una isoclina (una serie de líneas con la misma pendiente) para complementar el campo de pendientes. En una ecuación de la forma , la isoclina es una línea en el plano que se obtiene al igualar a una constante. ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

Caso general de un sistema de ecuaciones diferenciales

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\{\frac {dx_{2}}{dt}}&=f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&\;\;\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}$

El campo de pendiente es una matriz de marcas de pendiente en el espacio de fases (en cualquier número de dimensiones dependiendo del número de variables relevantes; por ejemplo, dos en el caso de una EDO lineal de primer orden , como se ve a la derecha). Cada marca de pendiente está centrada en un punto y es paralela al vector ${\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}.}$

El número, la posición y la longitud de las marcas de pendiente pueden ser arbitrarios. Las posiciones se eligen normalmente de modo que los puntos formen una cuadrícula uniforme. El caso estándar, descrito anteriormente, representa . El caso general del campo de pendientes para sistemas de ecuaciones diferenciales no es fácil de visualizar para . ${\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>2}$

Aplicación general

Con las computadoras, se pueden crear campos de pendientes complicados rápidamente y sin que resulte tedioso, por lo que una aplicación práctica que solo se ha utilizado recientemente es utilizarlos simplemente para tener una idea de cómo debería ser una solución antes de buscar una solución general explícita. Por supuesto, las computadoras también pueden resolver una, si es que existe.

Si no existe una solución general explícita, las computadoras pueden usar campos de pendientes (incluso si no se muestran) para encontrar numéricamente soluciones gráficas. Ejemplos de tales rutinas son el método de Euler o, mejor aún, los métodos de Runge-Kutta .

Software para trazar campos de pendientes

Diferentes paquetes de software pueden trazar campos de pendientes.

Código de campo de dirección enOctava GNU/MATLAB

funn = @( x , y ) y - x ; % función f(x, y) = yx [ x , y ] = meshgrid ( - 5 : 0.5 : 5 ); % intervalos para pendientes x e y = funn ( x , y ); % matriz de valores de pendiente dy = pendientes ./ sqrt ( 1 + pendientes .^ 2 ); % normaliza el elemento de línea... dx = ones ( length ( dy )) ./ sqrt ( 1 + pendientes .^ 2 ); % ...magnitudes para dy y dx h = quiver ( x , y , dx , dy , 0.5 ); % traza el campo de dirección set ( h , "maxheadsize" , 0.1 ); % modifica el tamaño de la cabeza                                    

Código de ejemplo paraMáxima

/* campo para y'=xy (haga clic en un punto para obtener una curva integral). Plotdf requiere Xmaxima */plotdf( x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);

Código de ejemplo paraMatemática

(* campo para y'=xy *) VectorPlot [{ 1 , x * y -5 x },{ x , -2 , 2 },{ y , -2 , 2 }]

Código de ejemplo paraMatemáticas Sage[4]

var('x,y')plot_slope_field(x*y, (x,-2,2), (y,-2,2))

Ejemplos

• y' = x/y
• 
  Campo de pendiente
• 
  Curvas integrales
• 
  Isoclinas (azul), campo de pendientes (negro) y algunas curvas solución (rojo)

Véase también

• Ejemplos de ecuaciones diferenciales
• Campo vectorial
• Transformada de Laplace aplicada a ecuaciones diferenciales
• Lista de temas sobre sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales
• Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

Referencias

1. Boyce, William (2001). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (7.ª ed.). Wiley. pág. 3. ISBN 9780471319993.
2. Vladimir A. Dobrushkin (2014). Ecuaciones diferenciales aplicadas: el curso primario. CRC Press. p. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.
3. Andrei D. Polyanin; Alexander V. Manzhirov (2006). Manual de matemáticas para ingenieros y científicos. CRC Press. pág. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.
4. "Trazado de campos — Manual de referencia de Sage 9.4: Gráficos 2D".

• Blanchard, Paul; Devaney, Robert L .; y Hall, Glen R. (2002). Ecuaciones diferenciales (2.ª ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Campo de pendiente". MathWorld .
• Trazador de pendientes de campo (Java)
• Trazador de terreno de pendiente (JavaScript)