En geometría , el término camino de Dubins se refiere típicamente a la curva más corta que conecta dos puntos en el plano euclidiano bidimensional (es decir, el plano xy ) con una restricción en la curvatura del camino y con tangentes iniciales y terminales prescritas al camino, y una suposición de que el vehículo que recorre el camino solo puede viajar hacia adelante. Si el vehículo también puede viajar en reversa, entonces el camino sigue la curva de Reeds-Shepp. [1]
Lester Eli Dubins (1920–2010) [2] demostró con herramientas de análisis [3] que cualquier camino de este tipo estará formado por segmentos de máxima curvatura y/o rectas. En otras palabras, el camino más corto se formará uniendo arcos circulares de máxima curvatura y rectas.
Dubins demostró su resultado en 1957. En 1974 Harold H. Johnson demostró el resultado de Dubins aplicando el principio de máximo de Pontryagin . [4] En particular, Harold H. Johnson presentó condiciones necesarias y suficientes para que una curva plana, que tiene una curvatura continua acotada por partes y puntos y direcciones iniciales y terminales prescritos, tenga una longitud mínima. En 1992 se demostró nuevamente el mismo resultado utilizando el principio de máximo de Pontryagin . [5] Más recientemente, J. Ayala, D. Kirszenblat y J. Hyam Rubinstein proporcionaron una prueba de teoría de curvas geométricas. [6] J. Ayala proporcionó una prueba que caracteriza los caminos de Dubins en clases de homotopía. [7]
La trayectoria de Dubins se utiliza habitualmente en los campos de la robótica y la teoría del control como una forma de planificar trayectorias para robots con ruedas, aviones y vehículos submarinos. Existen métodos geométricos [8] y analíticos [9] simples para calcular la trayectoria óptima.
Por ejemplo, en el caso de un robot con ruedas, un modelo cinemático simple de automóvil (también conocido como automóvil de Dubins) para los sistemas es: donde es la posición del automóvil, es el rumbo, el automóvil se mueve a una velocidad constante y el control de la velocidad de giro está limitado. En este caso, la velocidad de giro máxima corresponde a un radio de giro mínimo (y, equivalentemente, la curvatura máxima). Las tangentes inicial y terminal prescritas corresponden a los rumbos inicial y terminal . La ruta de Dubins proporciona la ruta más corta que une dos puntos orientados que es factible para el modelo de robot con ruedas.
El tipo de ruta óptima se puede describir utilizando una analogía con los automóviles que hacen un "giro a la derecha (R)", un "giro a la izquierda (L)" o conducen "en línea recta (S)." Una ruta óptima siempre será al menos uno de los seis tipos: RSR, RSL, LSR, LSL, RLR, LRL. Por ejemplo, considere que para algunas posiciones iniciales y finales y tangentes dadas, se muestra que la ruta óptima es del tipo "RSR". Entonces esto corresponde a un arco de giro a la derecha (R) seguido de un segmento de línea recta (S) seguido de otro arco de giro a la derecha (R). Moverse a lo largo de cada segmento en esta secuencia por la longitud adecuada formará la curva más corta que une un punto de inicio A a un punto terminal B con las tangentes deseadas en cada punto final y que no exceda la curvatura dada.
El problema del intervalo de Dubins es una variante clave del problema de la trayectoria de Dubins, en el que se especifica un intervalo de direcciones de rumbo en los puntos inicial y final. La dirección tangente de la trayectoria en los puntos inicial y final se limita a estar dentro de los intervalos especificados. Se podría resolver esto utilizando el análisis geométrico [10] o utilizando el principio mínimo de Pontryagin [11] .
