En el campo matemático de la geometría diferencial , la conjetura de Calabi fue una conjetura sobre la existencia de ciertos tipos de métricas riemannianas sobre ciertas variedades complejas , realizada por Eugenio Calabi (1954, 1957). Fue demostrado por Shing-Tung Yau (1977, 1978), quien recibió la Medalla Fields y el Premio Oswald Veblen en parte por su prueba. Su trabajo, principalmente un análisis de una ecuación diferencial parcial elíptica conocida como ecuación compleja de Monge-Ampère , fue uno de los primeros resultados influyentes en el campo del análisis geométrico .
Más precisamente, la conjetura de Calabi afirma la resolución del problema de curvatura de Ricci prescrito dentro del marco de las métricas de Kähler en variedades complejas cerradas . Según la teoría de Chern-Weil , la forma de Ricci de cualquier métrica de este tipo es una forma diferencial cerrada 2 que representa la primera clase de Chern . Calabi conjeturó que para cualquier forma diferencial R , hay exactamente una métrica de Kähler en cada clase de Kähler cuya forma de Ricci es R. (Algunas variedades complejas compactas no admiten clases de Kähler, en cuyo caso la conjetura es vacía).
En el caso especial de que la primera clase de Chern desaparezca, esto implica que cada clase de Kähler contiene exactamente una métrica plana de Ricci . A menudo se les llama variedades de Calabi-Yau . Sin embargo, varios autores suelen utilizar el término de maneras ligeramente diferentes; por ejemplo, algunos usos pueden referirse a la variedad compleja mientras que otros pueden referirse a una variedad compleja junto con una métrica particular de Ricci-plano de Kähler.
Este caso especial puede considerarse de manera equivalente como la teoría completa de existencia y unicidad de las métricas de Kähler-Einstein de curvatura escalar cero en variedades complejas compactas. El caso de la curvatura escalar distinta de cero no se sigue como un caso especial de la conjetura de Calabi, ya que el "lado derecho" del problema de Kähler-Einstein depende de la métrica "desconocida", colocando así el problema de Kähler-Einstein fuera del dominio de prescribiendo la curvatura de Ricci. Sin embargo, el análisis de Yau de la compleja ecuación de Monge-Ampère para resolver la conjetura de Calabi fue lo suficientemente general como para resolver también la existencia de métricas de curvatura escalar negativa de Kähler-Einstein. El tercer y último caso de curvatura escalar positiva se resolvió en la década de 2010, en parte haciendo uso de la conjetura de Calabi.
Calabi transformó la conjetura de Calabi en una ecuación diferencial parcial no lineal de tipo complejo Monge-Ampère , y demostró que esta ecuación tiene como máximo una solución, estableciendo así la unicidad de la métrica de Kähler requerida.
Yau demostró la conjetura de Calabi construyendo una solución de esta ecuación utilizando el método de continuidad . Esto implica primero resolver una ecuación más fácil y luego demostrar que una solución de la ecuación fácil se puede deformar continuamente a una solución de la ecuación difícil. La parte más difícil de la solución de Yau es demostrar ciertas estimaciones a priori para las derivadas de las soluciones.
Supongamos que es una variedad compacta compleja con forma de Kähler . Según el lema , cualquier otra forma de Kähler en la misma clase de cohomología de De Rham es de la forma
para alguna función fluida , única hasta la adición de una constante. Por tanto, la conjetura de Calabi es equivalente al siguiente problema:
Esta es una ecuación de tipo Monge-Ampère compleja para una sola función . Es una ecuación diferencial parcial particularmente difícil de resolver, ya que no es lineal en términos de orden superior. Es fácil solucionarlo cuando , como es una solución. La idea del método de la continuidad es mostrar que se puede resolver para todos mostrando que el conjunto para el cual se puede resolver es abierto y cerrado. Dado que el conjunto de para el cual se puede resolver no está vacío y el conjunto de todos es conexo, esto muestra que se puede resolver para todos .
El mapa de funciones suaves a funciones suaves que lleva definido por
no es ni inyectivo ni sobreyectivo. No es inyectivo porque agregar una constante a no cambia , y no es sobreyectivo porque debe ser positivo y tener un valor promedio 1. Entonces consideramos el mapa restringido a funciones que están normalizadas para tener un valor promedio 0, y preguntamos si este mapa es un isomorfismo en el conjunto de positivos con valor promedio 1. Calabi y Yau demostraron que efectivamente es un isomorfismo. Esto se hace en varios pasos, que se describen a continuación.
Demostrar que la solución es única implica demostrar que si
entonces φ 1 y φ 2 difieren en una constante (por lo que deben ser iguales si ambos están normalizados para tener un valor promedio 0). Calabi demostró esto mostrando que el valor promedio de
está dada por una expresión que es como máximo 0. Como obviamente es al menos 0, debe ser 0, por lo que
lo que a su vez obliga a φ 1 y φ 2 a diferir en una constante.
Demostrar que el conjunto de F posibles es abierto (en el conjunto de funciones suaves con valor promedio 1) implica demostrar que si es posible resolver la ecuación para algún F , entonces es posible resolverla para todos los F suficientemente cercanos . Calabi demostró esto utilizando el teorema de la función implícita para los espacios de Banach : para aplicar esto, el paso principal es demostrar que la linealización del operador diferencial anterior es invertible.
Esta es la parte más difícil de la prueba y fue la que realizó Yau. Supongamos que F está en el cierre de la imagen de posibles funciones φ. Esto significa que existe una secuencia de funciones φ 1 , φ 2 , ... tal que las funciones correspondientes F 1 , F 2 ,... convergen a F , y el problema es demostrar que alguna subsecuencia de las φs converge a una solución φ. Para hacer esto, Yau encuentra algunos límites a priori para las funciones φ i y sus derivadas superiores en términos de las derivadas superiores de log( f i ). Encontrar estos límites requiere una larga secuencia de estimaciones concretas, cada una de las cuales mejora ligeramente la estimación anterior. Los límites que obtiene Yau son suficientes para mostrar que todas las funciones φ i se encuentran en un subconjunto compacto de un espacio de funciones de Banach adecuado, por lo que es posible encontrar una subsecuencia convergente. Esta subsecuencia converge a una función φ con imagen F , lo que muestra que el conjunto de posibles imágenes F es cerrado.
