En el control estadístico de calidad , el CUSUM (o gráfico de control de suma acumulativa ) es una técnica de análisis secuencial desarrollada por ES Page de la Universidad de Cambridge . Se utiliza normalmente para supervisar la detección de cambios . [1] El CUSUM se anunció en Biometrika , en 1954, unos años después de la publicación de la prueba de razón de probabilidad secuencial (SPRT) de Wald . [2]
ES Page se refirió a un "número de calidad" , con lo que se refería a un parámetro de la distribución de probabilidad ; por ejemplo, la media . Ideó CUSUM como un método para determinar cambios en ella y propuso un criterio para decidir cuándo tomar medidas correctivas. Cuando el método CUSUM se aplica a cambios en la media, se puede utilizar para la detección de pasos de una serie temporal .
Unos años más tarde, George Alfred Barnard desarrolló un método de visualización, el gráfico de máscara V, para detectar tanto aumentos como disminuciones en . [3]
Como su nombre lo indica, CUSUM implica el cálculo de una suma acumulativa (que es lo que lo hace "secuencial"). A las muestras de un proceso se les asignan pesos y se suman de la siguiente manera:
Cuando el valor de S supera un determinado valor umbral, se ha detectado un cambio en el valor. La fórmula anterior solo detecta cambios en la dirección positiva. Cuando también es necesario detectar cambios negativos, se debe utilizar la operación mínima en lugar de la operación máxima, y esta vez se ha detectado un cambio cuando el valor de S está por debajo del valor (negativo) del valor umbral.
La página no dijo explícitamente que representa la función de probabilidad , pero esto es de uso común.
Esto se diferencia de SPRT porque siempre utiliza la función cero como la "barrera de retención" inferior en lugar de una "barrera de retención" inferior. [1] Además, CUSUM no requiere el uso de la función de verosimilitud.
Como forma de evaluar el desempeño de CUSUM, Page definió la métrica de longitud de ejecución promedio (ARL, por sus siglas en inglés) ; "la cantidad esperada de artículos muestreados antes de que se tome una acción". Además escribió: [2]
Cuando la calidad de la salida es satisfactoria, el ARL es una medida del gasto en que incurre el sistema cuando da falsas alarmas, es decir, errores de Tipo I ( Neyman y Pearson , 1936 [4] ). Por otro lado, para una mala calidad constante, el ARL mide el retraso y, por lo tanto, la cantidad de desechos producidos antes de que se tome la acción rectificadora, es decir, errores de Tipo II .
El siguiente ejemplo muestra 20 observaciones de un proceso con una media de 0 y una desviación estándar de 0,5.
De la columna se puede ver que nunca se desvía en 3 desviaciones estándar ( ), por lo que simplemente alertar sobre una desviación alta no detectará una falla, mientras que CUSUM muestra que el valor excede 4 en la observación 17.
donde es un parámetro de nivel crítico (ajustable, igual que el umbral T) que se utiliza para ajustar la sensibilidad de detección de cambios: cuanto más grande es, CUSUM es menos sensible al cambio y viceversa.
Los gráficos acumulados observados menos esperados [1] son un método relacionado.
