Propiedad CLRg

En matemáticas, la noción de propiedad de “límite común en el rango” denotada por la propiedad CLRg ^{[1] [2] [3]} es un teorema que unifica, generaliza y extiende las aplicaciones contractivas en espacios métricos difusos, donde el rango de las aplicaciones no necesariamente necesita ser un subespacio cerrado de un conjunto no vacío . ${\displaystyle X}$

Supongamos que es un conjunto no vacío y es una métrica de distancia; por lo tanto, es un espacio métrico. Ahora supongamos que tenemos aplicaciones propias. Se dice que estas aplicaciones cumplen la propiedad CLRg si  ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f,g:X\to X.}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }fx_{k}=\lim _{k\to \infty }gx_{k}=gx,}$$Para algunos ${\displaystyle x\in X.}$ 

A continuación, damos algunos ejemplos que satisfacen la propiedad CLRg .

Ejemplos

Fuente: ^[1]

Ejemplo 1

Supongamos que se trata de un espacio métrico habitual, con Ahora, si las asignaciones se definen respectivamente de la siguiente manera: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle f,g:X\to X}$

• ${\displaystyle fx={\frac {x}{4}}}$
• ${\displaystyle gx={\frac {3x}{4}}}$

para todos Ahora, si se considera la siguiente secuencia , podemos ver que ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \{x_{k}\}=\{1/k\}}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }fx_{k}=\lim _{k\to \infty }gx_{k}=g0=0,}$$

De esta forma, los mapeos y cumplieron con la propiedad CLRg . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

A continuación se muestra otro ejemplo que aporta más luz a esta propiedad CLRg.

Ejemplo 2

Sea un espacio métrico usual, con Ahora, si las asignaciones se definen respectivamente de la siguiente manera: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle f,g:X\to X}$

• ${\displaystyle fx=x+1}$
• ${\displaystyle gx=2x}$

para todos Ahora, si se considera la siguiente secuencia , podemos ver fácilmente que ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \{x_{k}\}=\{1+1/k\}}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }fx_{k}=\lim _{k\to \infty }gx_{k}=g1=2,}$$

Por lo tanto, las asignaciones y cumplieron la propiedad CLRg . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Referencias

1. Sintunavarat, Wutiphol; Kumam, Poom (14 de agosto de 2011). "Teoremas de punto fijo comunes para un par de aplicaciones débilmente compatibles en espacios métricos difusos". Journal of Applied Mathematics . 2011 : e637958. doi : 10.1155/2011/637958 .
2. MOHAMMAD, MDAD; BD, Pant; SUNNY, CHAUHAN (2012). "TEOREMAS DE PUNTO FIJO EN ESPACIOS DE MENGER UTILIZANDO LA PROPIEDAD $(CLR\_$\{$ST$\}$) $ Y APLICACIONES". Revista de análisis y optimización no lineal: teoría y aplicaciones . 3 : 225–237. doi : 10.1186/1687-1812-2012-55 .
3. P Agarwal, Ravi; K Bisht, Ravindra; Shahzad, Naseer (13 de febrero de 2014). "Una comparación de varias condiciones no conmutativas en la teoría del punto fijo métrico y sus aplicaciones". Teoría del punto fijo y aplicaciones . 2014 : 1–33. doi : 10.1186/1687-1812-2014-38 .