Círculo de Brocard

Círculo construido a partir de un triángulo

En geometría , el círculo de Brocard (o círculo de siete puntos ) es un círculo derivado de un triángulo dado. Pasa por el circuncentro y el punto simediano del triángulo, y tiene su centro en el punto medio del segmento de línea que los une (de modo que este segmento es un diámetro ).

Ecuación

En términos de las longitudes de los lados , , y del triángulo dado, y las coordenadas del área para los puntos dentro del triángulo (donde la coordenada - de un punto es el área del triángulo formado por ese punto con el lado de longitud , etc.), el círculo de Brocard consiste en los puntos que satisfacen la ecuación ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle b^{2}c^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}y^{2}+a^{2}b^{2}z^{2}-a^{4}yz-b^{4}xz-c^{4}xy=0.}$

Puntos relacionados

Los dos puntos de Brocard se encuentran en este círculo, al igual que los vértices del triángulo de Brocard . ^[2] Estos cinco puntos, junto con los otros dos puntos del círculo (el circuncentro y el simediano), justifican el nombre de "círculo de siete puntos".

El círculo de Brocard es concéntrico con el primer círculo de Lemoine . ^[3]

Casos especiales

Si el triángulo es equilátero , el circuncentro y el simediano coinciden y por tanto el círculo de Brocard se reduce a un único punto. ^[4]

Historia

El círculo de Brocard recibe su nombre de Henri Brocard , ^[5] quien presentó un artículo sobre él en la Asociación Francesa para el Avance de la Ciencia en Argel en 1881. ^[6]

Referencias

1. Moses, Peter JC (2005), "Círculos y centros de triángulos asociados con los círculos de Lucas" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 97–106, MR  2195737, archivado desde el original (PDF) el 2018-04-22 , consultado el 2019-01-05
2. Cajori, Florian (1917), Una historia de las matemáticas elementales: con sugerencias sobre métodos de enseñanza, The Macmillan Company, pág. 261.
3. Honsberger, Ross (1995), Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX, New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pág. 110, ISBN 9780883856390.
4. Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, pág. 184, ISBN 0-534-35188-3
5. Guggenbuhl, Laura (1953), "Henri Brocard y la geometría del triángulo", The Mathematical Gazette , 37 (322): 241–243, doi :10.2307/3610034, JSTOR  3610034.
6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Henri Brocard", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Círculo de Brocard". MundoMatemático .

Véase también

• Círculo de nueve puntos