En topología algebraica , una rama de las matemáticas , el cálculo de funtores o cálculo de Goodwillie es una técnica para estudiar funtores aproximandolos mediante una secuencia de functores más simples; generaliza la gavilla de una pregavilla . Esta secuencia de aproximaciones es formalmente similar a la serie de Taylor de una función suave , de ahí el término " cálculo de functores".
Muchos objetos de interés central en topología algebraica pueden verse como functores, que son difíciles de analizar directamente, por lo que la idea es reemplazarlos con functores más simples que sean aproximaciones suficientemente buenas para ciertos propósitos. El cálculo de functores fue desarrollado por Thomas Goodwillie en una serie de tres artículos en las décadas de 1990 y 2000, [1] [2] [3] y desde entonces se ha ampliado y aplicado en varias áreas.
Un ejemplo motivacional, de interés central en topología geométrica , es el funtor de incrustaciones de una variedad M en otra variedad N, cuya primera derivada en el sentido de cálculo de funtores es el funtor de inmersiones . Como cada incrustación es una inmersión, se obtiene una inclusión de functores ; en este caso, el mapa de un funtor a una aproximación es una inclusión, pero en general es simplemente un mapa.
Como ilustra este ejemplo, la aproximación lineal de un functor (en un espacio topológico) es su gavilla , pensando en el functor como un pregavilla en el espacio (formalmente, como un functor en la categoría de subconjuntos abiertos del espacio), y gavillas son los funtores lineales.
Este ejemplo fue estudiado por Goodwillie y Michael Weiss . [4] [5]
Aquí hay una analogía: con el método de la serie de Taylor del cálculo, puedes aproximar la forma de una función suave f alrededor de un punto x usando una secuencia de funciones polinómicas cada vez más precisas. De manera similar, con el método de cálculo de funtores, puedes aproximar el comportamiento de cierto tipo de functor F en un objeto particular X usando una secuencia de functores polinomiales cada vez más precisos .
Para ser específicos, sea M una variedad suave y sea O(M) la categoría de subespacios abiertos de M , es decir, la categoría donde los objetos son los subespacios abiertos de M , y los morfismos son mapas de inclusión . Sea F un funtor contravariante de la categoría O(M) a la categoría Top de espacios topológicos con morfismos continuos. Este tipo de funtor, llamado presheaf de valor superior en M , es el tipo de funtor que puede aproximarse usando el método de cálculo de funtores: para un conjunto abierto particular X∈O(M) , es posible que desee saber qué tipo de El espacio topológico F(X) es, por lo que se puede estudiar la topología de las aproximaciones cada vez más precisas F 0 (X), F 1 (X), F 2 (X), etc.
En el método de cálculo de funtores, la secuencia de aproximaciones consta de (1) functores , etc., así como (2) transformaciones naturales para cada número entero k . Se requiere que estas transformaciones naturales sean compatibles, lo que significa que la composición es igual al mapa y por lo tanto forma una torre.
y pueden considerarse como "aproximaciones sucesivas", al igual que en una serie de Taylor uno puede descartar progresivamente términos de orden superior.
Se requiere que los functores de aproximación sean " k - excisivo "; estos functores se denominan functores polinomialespor analogía con los polinomios de Taylor , que es una condición simplificadora y, aproximadamente, significa que están determinados por su comportamiento alrededor de k puntos a la vez, o más formalmente, son haces en el espacio de configuración de k puntos en el espacio dado. La diferencia entre los functores k th y st es un "functor homogéneo de grado k " (por analogía con los polinomios homogéneos ), que se puede clasificar.
Para que los functores sean aproximaciones al funtor original F, los mapas de aproximación resultantes deben estar n -conectados para algún número n, lo que significa que el funtor de aproximación se aproxima al funtor original "en dimensión hasta n "; Es posible que esto no ocurra. Además, si uno desea reconstruir el functor original, las aproximaciones resultantes deben ser n -conexas para que n aumente hasta el infinito. Entonces se llama a F un funtor analítico ,y dice que "la torre de Taylor converge al funtor", en analogía con la serie de Taylor de una función analítica.
Existen tres ramas del cálculo de functores, desarrolladas en el orden:
El cálculo de homotopía ha tenido una aplicación mucho más amplia que las otras ramas. [ cita necesaria ]
La noción de gavilla y gavilla de una gavilla anterior data de la teoría de categorías temprana y puede verse como la forma lineal del cálculo de functores. La forma cuadrática se puede ver en el trabajo de André Haefliger sobre enlaces de esferas en 1965, donde definió un "rango metaestable" en el que el problema es más simple. [6] Esto se identificó como la aproximación cuadrática al funtor de incrustaciones en Goodwillie y Weiss.
